Уравнение плоскости

2. Уравнение плоскости

Для вывода уравнения плоскости воспользуемся условием перпендикулярности векторов. Рассмотрим плоскость Пусть точка известная точка, принадлежащая данной плоскости, и пусть вектор известный вектор, перпендикулярный плоскости Такой вектор называется нормальным вектором (нормалью) плоскости. Точка произвольная точка пространства. Для того, чтобы выполнялось условие необходимо и достаточно, чтобы вектора и были перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов должно быть равно

Обозначим Отсюда Полученное уравнение является уравнением плоскости

Задача 3

Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к нему, если

Решение

Найдём координаты точки середины отрезка

нормальный вектор искомой плоскости.

Отсюда искомое уравнение имеет вид

Итак, искомое уравнение.

Задача 4

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно прямой

Решение

Направляющий вектор данной прямой будет нормалью к искомой плоскости, следовательно, Тогда уравнение плоскости имеет вид

Задача 5

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение

Так как координаты найденных векторов не являются пропорциональными, то и неколллинеарны, а значит, точки не лежат на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести единственную плоскость. Нормальный вектор этой плоскости должен быть перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, а по критерию перпендикулярности прямой и плоскости для этого необходимо и достаточно перпендикулярности каким-либо двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Пусть нормаль Тогда

Найдём координаты нормали из системы

Пусть Тогда

Таким образом а уравнение искомой плоскости имеет вид

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒