Комбинированный метод хорд и касательных

0,00045 < < 0,001=

4.3. Комбинированный метод хорд и касательных

Решение уравнений отдельно методом касательных или отдельно методом хорд приводят к нахождению приближенных значений корня только с недостатком или только с избытком. Вычисления будут давать более точные результаты и за меньшее число шагов, если применять комбинацию этих методов.

Пусть – промежуток изоляции корня с уравнения , то есть и производные , сохраняют знак на этом начальном отрезке (например, рис. 23).

Рис. 23

Рассмотрим два случая.

Случай(I): или для

В этом случае приближенное значение корня уравнения с недостатком находится методом хорд, а приближенное значение корня с избытком – методом касательных:

, (n = 0, 1, 2, 3, …);

Случай(II): или для

Тогда приближенное значение корня уравнения с недостатком находится методом касательных, а приближенное значение корня с избытком – методом хорд:

, (n = 0, 1, 2, 3, …).

Расчет с точностью заканчивается тогда, когда достигается неравенство . Приближенное значение корня уравнения вычисляется по формуле

Пример. Найти приближенное значение корня уравнения на отрезке с точностью .

Решение. Для функции :

, ,

то есть выполняется условие или . Поэтому выбираем формулы случая (II) и производим вычисления.

Шаг № 0:

; ;

; .

Шаг № 1:

; ; ;

;

; .

Шаг № 2

; ;

Результаты вычислений занесём в расчетную таблицу.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение корня уравнения . В каком случае корень называется изолированным?

2. Сформулируйте условия задачи приближённого решения уравнения.

3. Укажите основные этапы нахождения приближённого значения корня уравнения.

4. Что значит: отделить корень уравнения ?

5. Дайте определение промежутка изоляции корня уравнения.

6. Назовите методы, с помощью которых возможно отделение корней уравнения, и поясните идею их применения.

7. Что значит: уточнить корень уравнения с заданной точностью?

8. Укажите аналитические условия возрастания или убывания функции на промежутке.

9. Укажите аналитические условия выпуклости или вогнутости функции на промежутке?

10. Какие условия для функции гарантируют наличие хотя бы одного корня уравнения на отрезке ?

11. Какие условия для функции гарантируют наличие ровно одного корня уравнения на отрезке ?

12. Перечислите основные методы уточнения корня уравнения.

13. Как записать условия, необходимые для применения каждого из методов уточнения корня? Приведите графическую иллюстрацию в четырёх возможных вариантах вида кривой .

14. Запишите возможные варианты рекуррентной формулы метода касательных и поясните, когда применяется каждый из них.

15. Какие условия должны выполняться для функции , чтобы уравнение можно было решить методом хорд? Запишите соответствующие рекуррентные формулы.

16. В чем состоит суть комбинированного метода хорд и касательных и в чём его преимущество перед самостоятельными одноимёнными методами?

17. Какие условия определяют выбор формул при численном решении уравнения комбинированным методом хорд и касательных? Запишите рекуррентные формулы в каждом возможном случае.

18. Укажите условие, при выполнении которого процесс уточнения корня комбинированным методом может быть прерван. Как потом найти приближенное значение корня уравнения?

⇐ Предыдущая 1 23