Методы уточнения корня уравнения

4.2. Методы уточнения корня уравнения

Пусть – промежуток изоляции корня уравнения в случае, когда функция непрерывна на этом отрезке. Конкретизируем условия, которым должна удовлетворять функция , чтобы постановка задачи приближенного решения уравнения оказалась корректной:

1) (это означает, что на отрезке содержится корень уравнения – в соответствии с теоремой Больцано-Коши);

2) производные и сохраняют свой знак на всём отрезке (это означает, что функция монотонна и не меняет характер выпуклости на промежутке ).

Возможны два варианта соотношения знаков указанных выше производных:

(I) на отрезке (по-другому: )

или

(II) на отрезке (по-другому: ).

Рассмотрим так называемый метод касательных (Ньютона), предназначенный для нахождения приближенного значения корня, геометрический смысл которого состоит в замене на каждом шаге дуги кривой , заданной на отрезке , касательной к ней и нахождение точек пересечения полученных касательных с осью (Оx). Для случая (I), например, строим касательную (К₁) к графику функции в точке с абсциссой и находим абсциссу точки пересечения этой касательной с осью (Оx), затем строим касательную (К₂) в точке графика и находим абсциссу точки пересечения касательной (К₂) с осью (Оx), и так далее (рис. 20).

Рис. 20

Очевидно, что каждое значение , полученное на n-ом шаге (n = 0, 1, 2, …), является приближённым значением корня данного уравнения (для случая (I) – с недостатком). Для нахождения этих приближённых значений составим уравнение касательной (К_n), проходящей через точку графика с координатами : , после чего определим абсциссу точки пересечения касательной с осью (Оx). Учитывая, что , получим

(n = 0, 1, 2, 3, …).

Рис. 21

Это и есть так называемая рекуррентная формула метода касательных, с помощью которой можно найти приближённое значение корня (с избытком).

В случае (II)аналогично выводится рекуррентная формула метода касательных, позволяющая определить приближённое значение корня (с недостатком):

(n = 0, 1, 2, 3, …),

здесь за принимается левая граница промежутка изоляции корня (рис.21).

Рассмотрим ещё один метод уточнения корней уравнения – метод секущих(или метод хорд). Согласно этому методу в качестве приближённых значений корня уравнения выбираются абсциссы точек пересечения с осью (Оx) секущих, соединяющих граничные точки графика и , полученные на n-ом шаге (n = 0, 1, 2, …) . Секущие соответствуют последовательности «вложенных» отрезков