Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Формулировка
Прямая лежит на плоскости (принадлежит плоскости)		Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости. Замечание. Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
Прямая пересекает плоскость		Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.
Прямая параллельна плоскости		Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Утверждение 1. Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a .Тогда возможны два случая:

Плоскость β параллельна плоскости α (рис.1);
Плоскость β пересекает плоскость α. В этом случае прямая b , которая является линией пересечения плоскостей α и β , будет параллельна прямой a (рис.2).


Рис.1	Рис.2

Доказательство. Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3) .

Рис.3

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b, лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).

Рис.4

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒