Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Рис.1

Доказательство. Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

Для этого предположим, что прямая a, пересекающая плоскость в точке K, и прямая b, лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α. Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K, не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости. Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость, а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 2).

Рис.2

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b. Прямая a' параллельна прямой a, прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b.

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Решение. Поскольку прямая AB₁ пересекает плоскость BB₁C₁ в точке B₁, которая не лежит на прямой BC₁, то по признаку скрещивающихся прямых прямые AB₁ и BC₁ скрещиваются (рис. 3).

Рис.3

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB₁ и BC₁, проведем в кубе диагональ боковой грани AD₁ и диагональ верхнего основания D₁B₁ (рис. 4).

Рис.4

По определению угла между скрещивающимися прямыми угол D₁AB₁ и является углом между прямыми AB₁ и BC₁. Поскольку треугольник AD₁B₁ равносторонний, угол D₁AB₁ равен 60°.

Ответ. 60°.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒