Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Первый признак сходимости. Пусть даны два ряда (1) и

(2), причём каждый член ряда (2) не превосходит соответствующего члена pяда (2), то есть , n = 1,2… Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1), ели расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Рассмотрим вспомогательные ряды:

1) называется гармоническим. Он является расходящимся;

2) - обобщенный гармонический ряд, сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.

Геометрическая прогрессия, гармонический и обобщенный гармонический ряд очень часто используется при исследовании рядов с помощью признаков сравнения.

Пример 2 . Исследовать на сходимость ряд .

Решение. , а ряд - сходится, как геометрическая прогрессия. Следовательно, по первому признаку сходимости искомый ряд сходится.

Второй признак сходимости. Пусть даны два ряда (43) и

(44), если существует конечный ¹ 0, то ряды (43) и (44) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд: - гармонический расходящийся ряд. Вычислим предел :

= ¹0.

Значит, по второму признаку сходимости и данный ряд расходится.

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует , то при D < 1 ряд сходится, а при D >1 ряд расходится. При D = 1 признак Даламбера вопрос о сходимости не решает.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как U _n = , U _n₊₁ = , то D = = < 1, поэтому данный ряд сходится по признаку Даламбера.

В тех случаях, когда признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости, применяют интегральный признак Коши:

Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного ряда (1) являются значениями при x = 1,2,3,…, n,.. некоторой функции f(x) положительной, непрерывной, убывающей на интервале :

U₁= f(1), U₂= f(2),…, U_n = f (n).

Тогда: а) если - сходится, то сходится и ряд (43);

б) если - расходится, то ряд (43) также расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Если применить признак Даламбера, то , сказать о сходимости или расходимости нельзя. Применим интегральный признак Коши:

- lnln3 = ¥. Несобственный интеграл расходится, а значит, расходится и данный ряд по интегральному признаку сходимости.

Признак Коши. Если для ряда (1) существует , то этот ряд сходится при C<1 и расходится при C >1.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим предел

= < 1, следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

Знакопеременный ряд – ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующийся ряд – ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным членом положительный:

(3)

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (45) абсолютные величины членов убывают: и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд. .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся, поэтому применяем признак Лейбница:

1)   ;

2) . Оба условия выполнены, значит, ряд сходится по признаку Лейбница.

Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если - расходится.

Пример 8. Исследовать на условную и абсолютную сходимость:

а) ; б) .

Решение. а) Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин, то есть ряд . Он сходится, как обобщенный гармонический ряд, следовательно, искомый ряд сходится абсолютно.

б) Ряд составленный из абсолютных величин - расходится. Исследуем его на условную сходимость. Применим признак Лейбница:

1) ;

2) .

Ряд сходится по признаку Лейбница, следовательно, искомый ряд сходится условно.

             2. Функциональные и степенные ряды.

Ряд члены которого функции от x называется функциональным.

Совокупность значений x, при которых функции определены и ряд - сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Каждому значению из области сходимости X соответствуют определенные значение величины . Эту величину являющейся функцией от x, называется суммой функционального ряда и обозначают S(x). Если функциональный ряд сходится и имеет сумму S(x), то разность   - называется n-ым остатком функционального ряда.

Степенным рядом называется ряд вида

                      (4 )

где a и коэффициенты ряда - постоянные, в частности при a =

= 0 Þ                                                                                         (5)

Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R, R), к которому, в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки –R и R.

Интеграл называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины, т.е. число R – радиусом сходимости, который можно вычислить по формуле:

                                                                       (6)

А интервал (а - R; a + R) является интервалом сходимости ряда (46). Областью сходимостью степенного ряда является интервал сходимости плюс концевые точки интервала, если в них сходится ряд.

Пример 9. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Находим интервал сходимости по формуле (6):

= . Значит, область сходимости степенного ряда вся числовая прямая.

       Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда .

     Решение. Находим интервал сходимости по формуле (6):

= , следовательно, интервалом сходимости данного ряда является интервал (1-1;1+1) = (0;2). Исследуем сходимость на концах интервала.

1) при х = 0 получаем знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница:   и .

     2) при х = 2 получаем гармонический ряд , который является расходящимся.

Значит, - область сходимости данного степенного ряда.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒