|
|||
Тема: Числовые и функциональные ряды.Стр 1 из 3Следующая ⇒
Тема: Числовые и функциональные ряды. 1. Числовые ряды. Пусть дана числовая последовательность чисел: Числовым рядом называется выражение = , (1) где - общий член ряда. Сумма Sn первых n членов ряда называется n - ой частичной суммой ряда: . Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера n, то есть . Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Геометрическая прогрессия: является сходящимся рядом при и расходящимся при . Рассмотрим простейшие свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд (43) сходится и имеет сумму S, то ряд образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и тоже число l: , то же сходится и имеет сумму lS. 2. Если ряд (43) и ряд (2), то есть ряд , сходятся, то ряд, образованный сложением соответствующих членов данных рядов: , тоже сходится. 3. Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа членов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (43) сходится, то общий член стремится к нулю при n ® ¥. Стремление к нулю общего члена является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Если Un не стремится к нулю, то ряд (43) расходится. Пример 1. Доказать расходимость ряда . Решение. Здесь - необходимое условие выполнено, но ряд расходится. Покажем это: . Так как , то . , следовательно, ряд расходится.
|
|||
|