Несобственные интегралы. Несобственные интегралы 1-го рода. a. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница. b. Замена переменной. c. Внесение функции под знак дифференциала. d. Интегрирование по частям

Несобственные интегралы

ПММ, 1 курс, 9 группа, Спицын А. С.

Перед решением любого несобственного интеграла важно проверить подынтегральную функцию на непрерывность.

Несобственные интегралы 1-го рода

1. Бесконечный верхний предел интегрирования:

a. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Найти неопределённый интеграл.

3. Подставить верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1:

Пример 2 (№ 2338, Демидович):

b. Замена переменной

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Ввести замену и преобразовать исходный интеграл согласно формуле.

3. Полученный интеграл вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница (см. предыдущий пункт)

Пример 3:

c. Внесение функции под знак дифференциала

Алгоритм аналогичен предыдущим, однако вместо замены переменной при поиске первообразной используем метод внесения функции под знак дифференциала.

Пример 4:

Функция непрерывна на исследуемом отрезке, найдём несобственный интеграл:

d. Интегрирование по частям

Алгоритм решения:

1. Проверить непрерывность функции на промежутке интегрирования.

2. Применить формулу интегрирования по частям.

3. Вычислить необходимые пределы и несобственные интегралы.

Пример 5:

Подынтегральное выражение позволяет применить метод интегрирования по частям: