Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер —противоположными.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + c 2.

Решение задач из учебника:

№172

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABCравен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника, ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Ответ: 6√3 см.

№184.

Общая сторона АВ треугольников АВС и АВD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти СD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

Дано: АВ = 10 см, ΔАВС, ΔАВD.

а) Построим СМ⊥АВ и отрезок МD.

В равностороннем ΔАВС: СМ – высота, а значит, и медиана, АМ = МВ = 5 см.

В ΔАВD: МD – медиана и высота, то есть МD⊥АВ.

∠СМD – линейный угол внутреннего угла САВD, ∠СМD= 90°.

СМ = 10sin60° = 5, MD = 5 (cм).

СD = (по теореме Пифагора для ΔСМD).

б) Построим СМ⊥АВ.

В равностороннем ΔАСВ: СМ – высота, а значит, и медиана.

Проводим отрезок DM, DM – медиана в равнобедренном ΔАВD, следовательно, и высота МD⊥АВ.

Очевидно, СМ = МА = 5 см, МD = 5 см, СD = 5 см (по теореме Пифагора для ΔСМD).

Ответ:а) ; б) 5 (cм).

Из дидактических материалов :

1) Два правильных треугольника АВС и BDC расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугранного угла, образованного плоскостями ADC и ABC.

Дано: ΔАВС и ΔDВС – правильные, (АВС) ⊥ (DВС).

Найти: tg(∠(АВС) ⊥ (ADС)).

Решение:

DH⊥AC, HK⊥AC, следовательно, по ТТП, DK⊥AC.

Где

Ответ: 2.

2)На гранях двугранного угла взяты 2 точки, удаленные от ребра двугранного угла на 6 и 10 см. Известно, что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найти расстояние от другой точки до противоположной грани двугранного угла.

Дано: А и К лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С. ρ(С, А) = 6, ρ(С, К) = 10, ρ(К, β) = 7,5.

Найти: ρ(А, α) = ?

Ответ: 4,5.

⇐ Предыдущая 1 23