Многогранные углы. Признак перпендикулярности 2-х плоскостей.. Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.

Трёхгранный угол

Четырёхгранный угол

Пятигранный угол

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

Признак перпендикулярности 2-х плоскостей.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2). Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3).

Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD =90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.

При решении задач используются утверждения:

1. Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).

2. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒