Уравнения вида cosx=a.. Уравнения вида tgx=a.

2. Уравнения вида cosx=a.

Решим уравнение cosx=a также графически, построив графики функций у= cosx и у=а.

1) Если а<-1 и а> 1, то уравнение cosx=a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1<a< 1, то уравнение cosx=a имеет бесконечное множество решений.

Найдем все решения cosx=a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2 .

На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [- ;0] будет х=-arcos a.

Таким образом решения уравнения cosx=a х=+ arcos a+2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а=-1, то cosx =-1, x =- /2+2 n

Если а=1, то cosx =1, x = 2 n,

Если а=0, то cosx =0. x = /2+ n

Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2 n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

X=+ /3+2 n, n Z.

2. Уравнения вида tgx=a.

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx=a, достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (- /2; /2) есть arctga. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctg a+ n, n Z.

Пример: Решите уравнение tg x = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 + n, n Z.

Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда

х= /6+ n, n Z.

Вывод формулы для решения уравнения сtgx=aможно предоставить учащимся.

Пример.

Решить уравнение ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, n Z,

х = /4 + n, n Z.

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

уравнение	формулы корней
sinx =a	х= ( -1)ⁿarcsin a+ n, n Z.
cosx=a	х=+ arcos a+2 n, n Z.
tgx=a	х= arctg a+ n, n Z.
сtgx=a	х= arcсtg a+ n, n Z.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒