Простейшие тригонометрические уравнения

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Простейшие тригонометрические уравнения

План урока-лекции:

1.Вывод формул корней уравнения

а) sinx =a,

б) cosx=a,

в) tgx=a,

г) ctgx=а.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx =a.

Решим уравнение sinx =a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у=а.

1) Если а> 1 и а< -1, то уравнение sinх=а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1< а < 1, то по рисунку видно, что прямая у=а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx=a имеет бесконечно много решений.

Так как период синуса равен 2 , то для решения уравнения sinx=a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2 .

Решением уравнения на [- /2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [ /2; 3 /2] х= -arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

x=arcsin a+ 2 n

х= -arcsin a+2 n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1)ⁿarcsin a+ n, n Z.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а=-1, то sin x =-1, х=- /2+2 n

Если а=1, то sin x =1, x = /2+2 n

Если а=0, то sin x =0. x = n,

Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2 n

х= -arcsin a+2 n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

x= /6+ 2 n

х= 5 /6+2 n

или по общей формуле

х= ( -1)ⁿarcsin 1/2+ n,

х= ( -1)ⁿ /6+ n,

12 3 Следующая ⇒