Задача 5.

У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ...., 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?

Решение:

Ответ. Да.
1. Петя может просто повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.
2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.

Олимпиада по математике 6 класс.

Варианты заданий с решением и ответами: 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант

Олимпиада 6 класс | Математика 6 класс | Задачи по математике 6 класс с решением Школьная олимпиада с решением

Задача № 1:

Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого.
Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

Задача № 2:

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 +...... + 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.

Задача № 3:

Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов.
Какое наибольшее число клеток понадобится?

Задача № 4:

На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние.
Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки.
Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних.
Сколько больших породистых собак привезли на выставку?

Задача № 5:

Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.
Радиус каждой из окружностей равен 2 см.
Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.
Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

Ответы:

№ 1: Ответ: 43 – 17.

№ 2: Ответ: будет.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + ….. + (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

№ 3: Ответ: 5 клеток.

№ 4: Ответ: 7 больших породистых собак.

№ 5: Ответ: 64 см

Задача № 1:

Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Ответ: на тридцать седьмое место.

Сколько мест могло быть в первом ряду.
Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861.
Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857.
Значит в первом ряду ровно 40 мест.
Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

Задача № 2:

Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт.
Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных? »
Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

Ответ: «Нет».

Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь.
Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец).
Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

Задача № 3:

Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Ответ: существует.

Смотри рисунки:

Задача № 4:

Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8 x 8 по следующим правилам.
Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами).
Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным.
Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2 x 2.
Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться).
Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль.
Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.

Задача № 5:

На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник.
За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз.
Какой день недели на острове сегодня?

Ответ: суббота.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня.
Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря.
Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

Задача № 6:

На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино.
Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил,
что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13.
Найдите расстояние между селами.

Ответ: 49 километров.

Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров,
так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0,
то есть, сумма цифр будет больше 13.
На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9,
поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка
(чтобы суммы цифр были одинаковы).
Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9.
Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13.
Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

Задача № 7:

По кругу стоят восемь козлов разного роста.
Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки.
Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

На рисунке показано, каким образом любой козел (черный) сможет допрыгать до любого места, то есть, встать за любым (белым), заранее выбранным. В это время остальные козлы стоят на своих местах.
Поэтому, сначала второй по росту козел встанет за самым высоким,
после чего за ним встанет следующий по росту, и так далее.
Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.

Задача № 1:

На некотором острове необычайно регулярный климат:
по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно.
Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
A - в понедельник; B - в среду; C - в четверг; D - в пятницу; E - во вторник

Решение:

Выясним, сколько полных недель в 44 днях.
Получим 6 недель. В течении этих недель число солнечных дней не зависит от того, когда начнется отдых.
В качестве оставшихся двух дней выбираем четверг и пятницу - солнечные дни.
Следовательно, отправляем туристов утром в четверг.
То есть верный ответ - (С).

Задача № 2:

У двузначного числа " n" цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц.
Тогда число " n" обязательно: A - четное; B - нечетное; C - меньше 20; D - делится на 3; E - делится на 6.

Решение:

Ищем число " n" среди ряда чисел: 10 - 99.
По условию, у всех подозреваемых чисел - десятки четны (2, 4, 6, 8), а единицы - в два раза меньше (1, 2, 3, 4, ).
Перечислим все эти числа: 21, 42, 63, 84. Все они делятся на 3.
Следовательно верен ответ (D).

Задача № 3:

Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18.
На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A - 48;

Решение:

Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.
Также 90-18=72 делится на искомое число.
Их разность также делится на искомое число: 96-72=24.
Следовательно, искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.
Верен ответ (С).

Задача № 4:

Раньше называли число, равное миллиону миллионов, словом " легион".
Если разделить миллион легионов на легион миллионов,
то получится: A - легион; B - миллион; C - миллион миллионов; D - легион легионов; E - 1

Решение:

Перепишем заново:
делимое: миллион легионов - это миллион миллионов миллионов,
делитель: легион миллионов - это миллион миллионов миллионов,
следоватально частное равно 1.
Верен ответ (Е).

⇐ Предыдущая 1 23