Правило Лопиталя. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 сентября 2021; проверки требуют 9 правок.. Перейти к навигацииПерей

Правило Лопиталя

[править | править код]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 сентября 2021; проверки требуют 9 правок.

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теорема Лопита́ ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида {\displaystyle 0/0} и {\displaystyle \infty /\infty }. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Содержание

1Точная формулировка
2История
3Примеры
4Следствие
5См. также
6Примечания

Точная формулировка[править | править код]

Теорема Лопиталя:

Если: {\displaystyle f(x), \, g(x)} — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности {\displaystyle U} точки {\displaystyle a}, где {\displaystyle a} — действительное число или один из символов {\displaystyle +\infty, -\infty, \infty }, причём

1. {\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0} или {\displaystyle \infty };

2. {\displaystyle g'(x)\neq 0} в {\displaystyle U};

3. существует {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}};

тогда существует {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}.

Пределы также могут быть односторонними.

История[править | править код]

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Inﬁ niment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли. ^[2]

Примеры[править | править код]

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на {\displaystyle x} в наибольшей степени(в нашем случае {\displaystyle x^{3}}). В этом примере получается:

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a! }}=+\infty } — применение правила {\displaystyle a} раз;
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty } при {\displaystyle a> 0};
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}}.

Следствие[править | править код]

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

12 Следующая ⇒