Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

Если функции u=u(х) и v=v(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x) 0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1. dC=0, где С – константа.

2. d(u v)=du dv

3. d(uv)=udv vdu

4. d( )=

Доказать самостоятельно!

Инвариантность формы дифференциала.

Если y=f(u(x)) – сложная функция, то dy=f^’(u)du, то есть форма дифференциала не меняется независимо от того, рассматривается y как функция независимой переменной x или зависимой переменной u.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от х и является главной частью приращения функции y.

Если приращение x аргумента x близко к нулю, то приращение y функции приближенно равно ее дифференциалу, то есть , откуда .

Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке по известному значению этой функции в точке .

Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке.

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим функцию . Дифференциал этой функции зависит от и , причем от не зависит, так как приращение в данной точке можно выбирать независимо от точки . Поэтому в формуле первого дифференциала будет постоянным. Тогда выражение зависит только от и его можно дифференцировать по .

Дифференциал от дифференциала функции в данной точке называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом и обозначается или , т. е. . Полагая в формуле первого дифференциала постоянным, получим: