Определение. Теорема

Определение

Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2: 1, считая от вершины.

Дано: треугольник , – медиана к стороне ВС, – медиана к стороне АС, – медиана к стороне АВ, точка М – точка пересечения медиан.

Доказать: точка М – точка пересечения есть и единственная; , , .

Доказательство:

Соединим точки В₁ и С₁. С₁В₁ – средняя линия треугольника (см. Рис. 2). Отсюда треугольник . Они подобны по равенству двух углов (углы как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и В₁С₁ и секущей СС₁, углы как вертикальные). Мы знаем, что средняя линия равна половине основания треугольника, то есть , отсюда коэффициент подобия данных треугольников . Все линейные элементы треугольников соотносятся с

Рис. 2

таким коэффициентом подобия, отсюда и . Аналогично из подобия треугольников можно доказать, что и . Таким образом, если взять две медианы ВВ₁ и СС_1, мы докажем, что медиана СС₁ рассекает медиану ВВ₁ в отношении 2: 1, аналогично медиана АА₁ рассекает медиану ВВ₁ в отношении 2: 1, а значит, все три медианы пересекаются в точке М, такая точка единственная, и она делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины.

3. Теоремы о прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла, отсекает в нем два подобных треугольника, таким образом, получаем вместе с исходным три подобных треугольника.

Задан прямоугольный треугольник, угол , высота СН (см. Рис. 3). Отрезок АН обозначается как – это проекция катета b на гипотенузу с. Аналогично НВ это – проекция катета а на гипотенузу с. Гипотенуза СН обозначается .