Общие методы решения неравенств

Урок5. Задание Решите самостоятельно и вышлите мне. Конспект высылать не надо.

В3. Найти сумму целых решений неравенства

План работы. 1. Не знаете как решить? Надо посмотреть и найти в таблице методы решений данного примера. Внимательно прочитать и решить по алгоритму.

Общие методы решения неравенств

Решением неравенства, называется всякое значение переменой, при котором данное неравенство верно. Задание " решить неравенство" означает, что требуется найти множество всех его решений. Ответ записать промежутком.

Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными¹. При решении неравенств применяются следующие основные приемы

1 . Замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
2 . Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный
3 . Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный

Каждое их этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.

Линейные неравенства

Квадратные неравенства

Ответ:

Тренажер

-2x+11< 3 − 2x< 3− 11 − 2x< − 8 x> 4 Неравенство нестрогое, поэтому 4 не включается в промежуток:

Ответ: (4; +∞ )

x²-8x+12 ≥ 0

;

Неравенство строгое, поэтому 2 и 6 включается в промежуток: Ответ.

- Ответ:

Системы и совокупность неравенств, двойное неравенство.

Системы линейных неравенств

Совокупность неравенств

Двойное неравенство

Запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки называется системой (число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным). Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Запись нескольких неравенств, объединенных квадратной скобкой, называется совокупностью данных неравенств. Решение совокупности есть объединение решений входящих в нее неравенств.

Двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) можно записать в виде системы:

система равносильна неравенству х > 1 Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т. е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, т. е. Ответ.

Решением совокупности неравенств будет объединение решений неравенств совокупности, т. е. промежуток, на котором имеется хотя бы одна штриховка, т. е.

Ответ.

Запишем равносильную систему неравенств

Ответ.

Тренажер

1. -3 < 1+2x < 4 2. 1≤ 3-x≤ 5 3. -7< 2x-5≤ 1

Решение логарифмических неравенств

Вид неравенства

(1)

Вид неравенства

(1)

Метод решения. Сравним основание логарифма с единицей.

Неравенство (1) равносильно системе неравенств

(2) Неравенство (1) и система неравенств (2) имеют одно и то же множество решений. Отметим решения на числовой прямой. Ответ: (числовой промежуток)

Метод решения. Сравним основание логарифма с единицей.

Неравенство (1) равносильно системе неравенств

-57

Ответ:

Знак!

Ответ:

3. log_{0, 5} (2x+5) ≥ − 2

3≥ log ₅ x³
log ₂ (x ² − 7x+18) ≤ 3

Методы решений логарифмических неравенств

Пример.

Алгоритм решения

Пример.

1 шаг. Определим вид уравнения

Log₂(4x+12)≤ log₂(10)

2 шаг. Сравним основание логарифма с единицей.

3 шаг. ОДЗ 1. Переменный аргумент логарифма должен быть положительным; 2. Переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

4x+12> 0,