1) Полином наилучшего равномерного приближения для непрерывной функции.

Задание 3.

1) Полином наилучшего равномерного приближения для непрерывной функции.

Пусть непрерывна на . Полином будет полиномом наилучшего приближения для функции на , если для всех , являющихся полиномами степени п. Для построения полинома наилучшего приближения воспользуемся теоремой Чебышева об альтернансе: Полином будет полиномом наилучшего приближения для функции на , если на найдется точки , так, что , а знаки этой разности в соседних точках чередуются. Точки называются точками альтернанса.

Многочлен 1-й степени. Пусть – выпуклая, положительная на . Построим . В силу выпуклости разность может иметь только одну внутреннюю точку экстремума (производная может обратиться в 0 только в одной точке). Обозначим ее d. Значит, точки альтернанса – a, d, b. Получаем уравнения для определения и :

(*)

Из 3-го уравнения вычитаем 1-е: . Отсюда . Запишем уравнение касательной к в точке x=d: . Продифференцируем разность , получим . Эта функция в т. d обращается в 0. Значит, . Т. е. a – угловой коэффициент касательной. Теперь запишем хорду, соединяющую точки и : . Значит, касательная параллельна этой хорде. Теперь сложим 1-е и 2-е уравнения в (*): . Отсюда . Это означает, что искомая прямая лежит посередине между хордой и касательной и параллельна им.

Задание. Построить полином наилучшего равномерного приближения 1-й степени для указанной в задании функции на промежутке .

12 Следующая ⇒