3.Вопрос. 4.Вопрос. 5.Вопрос. Алгебра тензоров

3. Вопрос

Опр. Упорядоченная совокупность базисных векторов называется их индефинитным произведением или полиадой. Количество векторов в полиаде- её ранг.

1)Две полиады равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же векторов в одном и том же порядке. R₁R₂R³= R₁R₂R³

2)умножение на скаляр. α (R₁R₂ )= (α R₁)R₂ = R₁(α R₂)

3)для полиад одного ранга вводится сложение(коммутативность, ассоциативность). R₁R₂ +R₃R₂=R₃R₂+R₁R₂

4)сумма произведений полиад одного ранга на скаляры называется их линейной комбинацией. α (R₁R₂)+β (R₃R₂ )

5)совокупность полиад одного ранга называется линейно-независимой, если ни одна из них не может быть представлена линейной комбинацией остальных.

R_iR_j =( R₁ R₁, R₁R₂, R₁R₃, … R₃R₃)

Для полиад вводятся операции умножения:

1)скалярное умножение R_iR_jR_l ∙ R^mR_nR_k (R_l ∙ R^m ) R_iR_jR_nR_k 2)векторное произведение R_iR_j (R_k * R^m ) R_nR_l

3)индефинитное умножение. при индеф. умножении сначала выписываем все в-ры 1-го множителя и к ним присоединяем в-ры 2-го. R_iR_j; RⁿR_k R_iR_jRⁿR_k

второе определение тензора: тензором ранга n назыв. объект U независящий от системыкоординат, который в каждойконкретной системе координат представляется линейной комбинацией всевозможных полиад ранга n различной структуры U =U_ijkRⁱR^jR^k=Uⁱ_jkR_iR^jR^k=…=U^ijkR_iR_jR_k коэффициенты разложения называются координатами тензора ковариантными по нижним индексам и контравариантными по верхним. Так же как и в опр. вектора, опр. 1 и 2 тензора являются эквивалентными

4. Вопрос

Матричный тензор

g_lj=R_i∙ R_i g^ij=Rⁱ∙ R^j δ _i^J=R_i∙ R^j g_i_’_j_’=R_i_’∙ R_j_’ gⁱ^’^j^’=Rⁱ^’∙ R^j^’ δ _j_’ⁱ^’=Rⁱ^’∙ R^j^’

1)Rⁱ=a^jiR_i=(по осн. Теор. Бизиса) │ ∙ R^k =a_j₁∙ R₁+a_j₂R₂+a_j₃R₃ Rⁱ∙ R^k=g^ik=a^ji∙ R_i∙ R^k=a^ji∙ δ _j^k=a^jk R^j=g^ji∙ R_j(5) 2)R_i=b_ikR^k │ ∙ R_j R_i=g_ikR^k (5) R_iR_j=g_ij=b_ik δ ^k_j=b_ji

Операция опускания и поднятия индексов (5)

Рассм. Выраж: R^j∙ R_j=δ ^j_i=gⁱⁿ∙ R_n∙ g_ikR^k=g^jn∙ g_ikδ _n^k=gⁱⁿg_in= (сво-во: g_ji=g_ij, g^ij=g^ji)) =g^jn∙ g_ni=δ ^j_i => gⁱⁿ∙ g_ni=δ ^j_i

ð ||gⁱⁿ||=||g_nj||^-1

Вычисляем определитель M: |gⁱⁿ|∙ |g_ni|=1

|g_nj|=g, |gⁿⁱ|=g^-1

Рассм: g_i_’_j_’=R_i_’∙ R_j_’= выразим по формулам = ;

G=g_ijRⁱ∙ R^j= (C использ. (5) )= g_ij∙ g^ikR_kR^j=δ ^k_jR_kR^j=δ ^k∙ R_k∙ g^jiR_i=g^Ki∙ R_kR_i

g-коорд. Метрическ. Тензора.

uⁱ=g^iku_k u_i=g_iku^k s_ij=g_img_jn∙ S^mn

рассмотрим. Т. M (над М знак вектора) MM’=R(M’)R(M)= =R(θ ⁱ+∂ θ ⁱ)R(θ ⁱ)=

Если задана кривая i=1, 2, 3.

ds= ; - длина дуги в кривол. коорд.

Рассмотрим элементы которые являются касат. в точке

- явл. массштабн. множителем между приращ. крив. корд. и длинами дуг соответств. коорд. линий

геом. смысл состоит в том, что эти парам. опред. углы между соотв. коорд. направлениями.

5. Вопрос

В каждой СК построим также числа Э_ijk=R_i(R_j·R_k), убедимся что такие числа являются координатами трехвалентного тензора.

по первому определению тензора эти числа являются тензором ранга n. Эти числа Э_ijk являются компонентами трехвалентного тензора, который называют дискриминантным.

Операция поднятия индексов.

gⁱⁿЭ_ijk=Эⁿ_ij=gⁱⁿ R_i(R_j·R_k)= Rⁿ (R_j·R_k);

gⁱⁿg^jmg^klЭ_ijk=Э^nml=Rⁿ(R^m·R^l)

Значение компонентов дискриминантного тензора.

1) При круговой перестановке значение не меняется

2) При транспозиции двух векторов знак меняется.

Эijk= -Эijk

Если среди трех индексов ijk имеются 2 одинаковых, то соответ. коорд. Обращается в 0. Среди 27 чисел ijk существенно отлично от нуля лишь одно, остальные находятся .

при транспонировании определитель не меняется.

Чтобы выбрать знак, полагаем, что -положительное и равно

6 . Вопрос

Алгебра тензоров

С помощью алгебр. операций получаются новые тензоры

1)Тензоры одного ранга можно складывать.

-тензор. Док-во:

;

2)Умножение тензора на скаляр. - тензор, то - тензор. Док-во: - преобраз. по тензорному закону, => тоже тензор.

3)Свертывание тензора: Пусть заданы смешанные компоненты какого-либо тензора. Выберем один верхн. один нижний и придадим одинаковое значение.

компонен. тензора.

Док-во:

4) ,

-скалярное -векторное

-- индефинитное

5)Операция симметр. и альтернации. Пусть задан тензор n-ого ранга. . Выпишем его корд. и составим n! возможных корд., кот. отвечают возможным перестановкам и построим. .

. Построим тензор, корд. кот. равны среднему аррифмет. выше построенным различным коорд-там.

-постр. тензор наз. построенным по средствам симметрирования.

Построим тензор w=1/n! (сумма тенз. постр. выше)

- тензор получ. из заданного посредством альтернации. Такой тензор назыв. кососимметр.

7. Вопрос

Простейшие св-ва

1) Если в какой-либо СК все компоненты т. Обратились к нулю, то они равны 0 во всех других СК

2) Пусть даны две тензоры. 1-ый симметричный, 2=ой кососимметричный

Тогда свёртка этих тензоров по ij обратится в 0

Д-во

U_ij=V^ij=0, V^ij=0, V^ij=-V^ji.

V¹¹=V²²=V³³=0

U₁₂V¹²+U₂₁V²¹+U₁₃V¹³+U₃₁V³¹+U₂₃V²³+U₃₂V³²=0

3) Обратный тензорный признак

Пусть в каждой СК заданы совокупности чисел снабженными индексами, обладающими св-ом, при свертке с любым тензором они образуют тензор, тогда заданные совокупности чисел являются коофициентами тензора.

Докажем на тензоре 2ого ранга, пусть в каждом СК заданы совокупности чисел с индексами I и j U_ij при свертке получится U_ijb^j=V_i – тензор, где bⁱ – любой

Т. к U_i – тензор => ,

а V_i_’ тоже самое только в штрихованной системе компоненты . Подставим , переместим всё влево

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒