![]()
|
|||||||||||||||
3.Вопрос. 4.Вопрос. 5.Вопрос. Алгебра тензоров3. Вопрос Опр. Упорядоченная совокупность базисных векторов называется их индефинитным произведением или полиадой. Количество векторов в полиаде- её ранг. 1)Две полиады равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же векторов в одном и том же порядке. R1R2R3= R1R2R3 2)умножение на скаляр. α (R1R2 )= (α R1)R2 = R1 (α R2) 3)для полиад одного ранга вводится сложение(коммутативность, ассоциативность). R1R2 +R3R2 =R3R2 +R1R2 4)сумма произведений полиад одного ранга на скаляры называется их линейной комбинацией. α (R1R2)+β (R3R2 ) 5)совокупность полиад одного ранга называется линейно-независимой, если ни одна из них не может быть представлена линейной комбинацией остальных. RiRj =( R1 R1 , R1R2 , R1R3 , … R3R3 ) Для полиад вводятся операции умножения: 1)скалярное умножение RiRjRl ∙ RmRnRk (Rl ∙ Rm ) RiRjRnRk 2)векторное произведение RiRj (Rk * Rm ) RnRl 3)индефинитное умножение. при индеф. умножении сначала выписываем все в-ры 1-го множителя и к ним присоединяем в-ры 2-го. RiRj; RnRk RiRjRnRk второе определение тензора: тензором ранга n назыв. объект U независящий от системыкоординат, который в каждойконкретной системе координат представляется линейной комбинацией всевозможных полиад ранга n различной структуры U =UijkRiRjRk=UijkRiRjRk=…=UijkRiRjRk коэффициенты разложения называются координатами тензора ковариантными по нижним индексам и контравариантными по верхним. Так же как и в опр. вектора, опр. 1 и 2 тензора являются эквивалентными 4. Вопрос Матричный тензор
Операция опускания и поднятия индексов (5) Рассм. Выраж: Rj∙ Rj=δ ji=gin∙ Rn∙ gikRk=gjn∙ gikδ nk=gingin= (сво-во: gji=gij, gij=gji)) =gjn∙ gni=δ ji => gin∙ gni=δ ji ð ||gin||=||gnj||-1 Вычисляем определитель M: |gin|∙ |gni|=1 |gnj|=g, |gni|=g-1 Рассм: gi’j’=Ri’∙ Rj’= выразим по формулам = G=gijRi∙ Rj= (C использ. (5) )= gij∙ gikRkRj=δ kjRkRj=δ k∙ Rk∙ gjiRi=gKi∙ RkRi g-коорд. Метрическ. Тензора. ui=gikuk ui=gikuk sij=gimgjn∙ Smn
Если задана кривая ds=
Рассмотрим элементы которые являются касат. в точке
5. Вопрос В каждой СК построим также числа Эijk=Ri(Rj·Rk), убедимся что такие числа являются координатами трехвалентного тензора.
Операция поднятия индексов. ginЭijk=Эnij=gin Ri (Rj·Rk)= Rn (Rj·Rk); gingjmgklЭijk=Эnml=Rn(Rm·Rl)
Значение компонентов дискриминантного тензора. 1) При круговой перестановке значение не меняется 2) При транспозиции двух векторов знак меняется. Эijk= -Эijk Если среди трех индексов ijk имеются 2 одинаковых, то соответ. коорд. Обращается в 0. Среди 27 чисел ijk существенно отлично от нуля лишь одно, остальные находятся
Чтобы выбрать знак, полагаем, что 6 . Вопрос Алгебра тензоров С помощью алгебр. операций получаются новые тензоры 1)Тензоры одного ранга можно складывать.
2)Умножение тензора на скаляр. 3)Свертывание тензора: Пусть заданы смешанные компоненты какого-либо тензора. Выберем один верхн. один нижний и придадим одинаковое значение. компонен. тензора. Док-во: 4) -скалярное
5)Операция симметр. и альтернации. Пусть задан тензор n-ого ранга.
7. Вопрос Простейшие св-ва 1) Если в какой-либо СК все компоненты т. Обратились к нулю, то они равны 0 во всех других СК 2) Пусть даны две тензоры. 1-ый симметричный, 2=ой кососимметричный
Тогда свёртка этих тензоров по ij обратится в 0 Д-во Uij=Vij=0, Vij=0, Vij=-Vji. V11=V22=V33=0 U12V12+U21V21+U13V13+U31V31+U23V23+U32V32=0 3) Обратный тензорный признак Пусть в каждой СК заданы совокупности чисел снабженными индексами, обладающими св-ом, при свертке с любым тензором они образуют тензор, тогда заданные совокупности чисел являются коофициентами тензора. Докажем на тензоре 2ого ранга, пусть в каждом СК заданы совокупности чисел с индексами I и j Uij при свертке получится Uijbj=Vi – тензор, где bi – любой Т. к Ui – тензор => а Vi’ тоже самое только в штрихованной системе
|
|||||||||||||||
|