1.Вопрос. 2.Вопрос. Тензор.. Первое определение тензора.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

1. Вопрос

xⁱ=xⁱ(q¹, q², q³) qⁱ=qⁱ (q¹, q², q³)

M(x¹, x², x³) ~ q¹, q², q³

q¹, q², q³ - Криволинейные координаты (метки точки M)

Криволинейные координаты - " метки, не являющиеся декартовыми, имеющие зависимость с декартовыми.

R=xⁱe_i – координатный вектор R=x¹(q¹, q², q³)e₁+.. + x³(q¹, q², q³)e₃

, ,

Векторы R₁, R₂, R₃ будут не комплонарны, потому что матрица, состоящая из их координат является м. Якоби, определитель которой не равен нулю

R_i – векторы основного координатного базиса, по ним можно разложить любой вектор, т. е. л/н

Rⁱ – обозначение взаимного базиса

В каждой точке пространства возникают два базиса: основной R_i, взаимный Rⁱ

Преобразовании координатных векторов при переходе к новой системе координат

Рассмотрим взаимные векторы

2. Вопрос

Вектор – инвариантный объект, который в каждом некомпланарном базисе представляется линейной комбинацией векторов этого базиса. где Uⁱ-конт рвариантные компоненты, U_i-ковариантные.

Преобразование контр- и ковариан.

(1), (2), (3), (4) – устанавливают правило, при котором ковариан. и контрвариан. Переходят из одной СК в другую.

Тензор.

Опр. 1. Пусть в каждой СК заданы упорядоченные тройки чисел, обладающие тем свойством, что при переходек новой СК они преобразуются по формулам (1), (2), тогда скажем что такие тройки чисел определяют такой объект под названием вектор, а сами они – его ковар. координаты.

Опр. 2. Пусть в каждой СК заданы упорядоченные тройки чисел, обладающие тем свойством, что при переходек новой СК они преобразуются по формулам (3), (4), тогда скажем что такие тройки чисел определяют такой объект под названием вектор, а сами они – его контрвар. координаты.

Убедимся, что два определения эквивалентны. Фомулы (1), (2), (3), (4) получили из линейного представления. Каждое из равенств (2) умножим на Rⁱ^’ и просуммируем

Первое определение тензора.

Опр. Пусть в каждой системе координат заданы совокупности чисел, снабженные индексами вверху и внизу a_ij^k в θ ⁱ, a_i_’_j_’^k^’в θ ⁱ^’ и пусть эти числа обладают след. свойством, при переходе от одной СК к другой они преобразуются друг в друга по нижним индексам, как ковариантные компоненты вектора, а по верхним – как контрвариан. компоненты вектора. Совокупности этих чисел образуют тензор. Число индексов – ранг тензора. Вектор – тензор первого ранга.

12 3 Следующая ⇒