![]()
|
|||||||
Решение задачЗадача: Пусть a1, …, an > 0,
Решение: Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x2, mi=n. Получаем:
что и требовалось доказать. Неравенство Коши-Буняковского Задача: Пусть a+b+c=1. Доказать, что Решение: Из неравенства Коши-Буняковского имеем
А отсюда имеем, что Неравенство Коши Задача: Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что
(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).
Решение: Поскольку a+b+c=1, то 1+a= (1-b)+(1- c). Используя неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим
Аналогично
Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство. Неравенство Бернулли Задача: Решить уравнение
Решение: К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенство Бернулли, тогда
причем равенство возможно лишь при Весовое (общее) неравенство Коши Задача 1: Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство Решение: По весовому неравенству Коши (
Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство Задача 2: Для произвольных a, b≥ 0 доказать неравенство
Решение: По весовому неравенству Коши имеем, что
Добавляя к указанному неравенству аналогичное
получаем
что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b. Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей. Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству (1). Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можно было «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Коши именно с такими весовыми коэффициентами m1=7, m2=4, m3=1. Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и были найдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённых коэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотрим весовое неравенство Коши
Подберём весовые коэффициенты m1, m2, m3 так, чтобы в правой части неравенства (4) получить a3b. Для этого достаточно решить систему
Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (в решении задачи это было неравенство (3))
то получим
Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством в задаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства
Решая систему (8), имеем m1=7 m3, m2=4 m3. При таком подборе m1, m2, m3 неравенство (4) становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство (7) – неравенством (1). Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательства неравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши с неопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левой части, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираем неопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств) так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.
|
|||||||
|