1. ИССЛЕДОВАНИЕ итерационныХ алгоритмоВ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ итерационныХ алгоритмоВ

Цель работы – изучить основные алгоритмы организации итерационных циклов, овладеть практическими навыками разработки, программирования и применения итерационного циклического вычислительного процесса.

1. 1 Подготовка к лабораторной работе

При подготовке к лабораторной работе необходимо ознакомиться с организацией циклов, изучить операторы для реализации циклов.

1. 2 Теоретические сведения

Циклы с заранее неизвестным числом повторений, которые выполняются, пока истинны определенные условия, называются итерационными.

Алгоритм, в состав которого входит итерационный цикл, называется итерационнымалгоритмом. Итерационные алгоритмы используются при реализации итерационных численных методов.

В итерационных алгоритмах необходимо обеспечить обязательное достижение условия выхода из цикла (сходимость итерационного процесса). В противном случае произойдет зацикливание алгоритма, т. е. не будет выполняться основное свойство алгоритма — результативность.

Условиями окончания цикла могут быть: достижение заданной точности вычисления результата, изменение знака определенной величины и т. д.

Вычисление суммы бесконечного ряда с заданной точностью является типичной задачей, использующей итерационный цикл, так, как заранее не известно, при каком члене ряда будет достигнута требуемая точность.

Пусть бесконечная сумма имеет вид: . Каждое слагаемое суммы является функцией от номера i, определяющего место этого слагаемого в сумме, а также может являться функцией одного или нескольких дополнительных параметров.

Вычисление суммы ряда состоит в получении в результате циклического процесса последовательности s₁, s₂, …, s_i, …, сходящейся к своему предельному значению. В общем случае начальное значение номера члена ряда i может быть отличным от 1 (например, равным 0). Суммирование считается законченным при выполнении условия достижения заданной точности : или .

Алгоритм 1. Каждый член суммы а_i вычисляется по формуле общего члена ряда.

Пример 1. 1. Пусть x – некоторое число, а e = 0. 001. Вычислить сумму элементов бесконечно убывающей знакопеременной последовательности {a_n}, где a_n=(-1)ⁿ(2x)ⁿ/n!, удовлетворяющих условию |a_n| > e, n=1, 2…. Определить количество слагаемых. Вывести на экран результаты вычислений.

Схема алгоритма решения этой задачи приведена на рис. 1. 1.

Рис. 1. 1. Схема алгоритма решения задачи 1. 1

Программа будет иметь вид:

#include " stdafx. h"

#include < iostream>

#include < windows. h>

#include < math. h>

#include < conio. h> // Файл, где определена функция getch()

using namespace std;

int main()

{

SetConsoleOutputCP(1251);

//Сначала сумма равна нулю, а факториал единице

double summa=0, x, a, e = 0. 001;

int fact=1, n=1, z=-1;

cout< < " Введите число x: \n";

cin> > x;

a =-2*x;

while (abs(a) > e)

{summa = summa + a;

n += 1; //Вычисляем a_n+1}

z = -z; //Вычисляем (-1)ⁿ⁺¹}

fact *= n; //Вычисляем факториал}

a = z * pow(2 * x, n) / fact; //См. Замечание}

}

cout< < " Суммa =" < < summa< < " \n";

cout< < " Количество слагаемых =" < < n-1;

getch();

return 0;

}

Замечание. Вычисление знакопеременной суммы возможно при помощи следующей конструкции:

if (n % 2! =0) summa=summa – a else summa = summa+a

Существует более экономный способ вычисления значения переменной а (элемента именно данной последовательности), используя предыдущее значение и команду присваивания вида a=a*M, где для данного примера M =- x/(n+1) (коэффициент рекуррентности).

Алгоритм 2. Если в формулу общего члена суммы входят степени и факториалы, то для уменьшения затрат времени на вычисление текущего члена ряда целесообразно использовать рекуррентную формулу.

Для получения рекуррентной формулы используется отношение текущего члена ряда к предыдущему: .