Задача № 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ. Механика

Задача № 5

Определить разность давлений ( Р₁ - Р₂ ) в широком (d₁) и узком (d₂) коленах горизонтальной трубы, если по трубе продувается воздух плотностью ρ =1, 29 кг/м³ со скоростью υ ₁ в широком колене трубы.

Заданные величины	номер варианта
Заданные величины
d₁, см
d₂, см
υ ₁, м/с

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ:

Для решения задачи

Необходимо переписать условие задачи.
Записать условие с помощью принятых символов. Цифровые данные выписываются с обязательным указанием единиц измерения, выраженных в системе СИ.

3. Решение задачи должно быть пояснено (см. примеры).

После решения выписать ответ (в СИ).
Выбор варианта - по последней цифре зачетной книжки. Например: № зачетной книжки 1052, следовательно, вариант № 2

Механика

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 1

Для решения задачи необходимо ознакомиться с разделом «Основы кинематики». Необходимо знать, что скорость есть первая производная по времени по отношению к пройденному пути, а ускорение есть вторая производная от S или первая производная по времени от скорости.

Пример решения задачи.

Уравнение движения материальной точки имеет вид S = Аt + Вt², м. Определить для момента времени t = 1с. Пройденный телом путь, скорость и ускорение, если А = 2 м/с, В = 4 м/с².

Решение:

Дано: S = Аt + Вt² t = 1 с А = 2 м/с В = 4 м/с²

Решение: Для нахождения пройденного телом пути подставляем в уравнение движения начальные данные: S = Аt + Вt² = 2*1 + 4*1²=6 м. Для нахождения скорости берем первую производную от S по времени: V= S^'=А+2Вt = 2+2*4*1=10 м/с Для нахождения ускорения берем первую производную от скорости по времени: а = V^'=2В = 2*4 = 8 м/с²

S -? V-? a-?

Ответ: S = 6 м, V=10 м/с, а =8 м/с².

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 2

Для решения данной задачи необходимо знать второй закон Ньютона, уметь правильно расставить силы, действующие на тело, а также правильно записать проекции этих сил в выбранной системе координат. Необходимо также использовать зависимости S и V от времени в случае равноускоренного движения.

Пример решения задачи.

С вершины клина, длиною L= 2 м с углом наклона 30^о начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином µ= 0, 1. Определить: скорость тела у основания клина.

Дано: L = 2 м α = 30^о µ= 0, 1

V -?

Решение: N Fтр

На тело действуют следующие силы: x

направленная вертикально вниз сила тяжести mg, направленная mg перпендикулярно опоре сила нормального давления N и направленная против движения сила трения Fтр. Скорость тела у основания клина можно определить по формуле: V = V_o ± at. Для нахождения V надо знать ускорение а и времяt. Ускорение найдем, используя законы динамики и в частности 2 закон Ньютона. F = ma Выполняем проекции сил на выбранные оси Х и У Х: ma = mg sin a - Fтр (1) У: 0 = N - mg cos a (2) Данная система уравнения решается подстановкой. Из (2) выражаем N N = mg cos a (3) Сила трения равна F = µ N = µ mg cos a (4) Далее решаем (1) подставляя (4) ma = mg sin a - µ mg cos a ma = mg (sin a - µ cos a ) Масса по разные стороны знака равно сокращается a = g (sin a - µ cos a ) Далее подставляем значения и производим расчет: а = 9, 81*(sin 30 - 0. 1*cos 30) = 4, 05 м/с²

Время можно найти из уравнения движения:

, где S = L, V_o=0. Тогда t =

= 0. 99 c. Используя полученные данные, определяем скорость тела. V = at = 4. 05*0. 99 = 4 м/с

Ответ: V = 4 м/с

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 3

Для решения данной задачи необходимо использовать законы динамики движения и кинематику (см. решение предыдущей задачи).

Пример решения задачи:

Тело массой 5 кг поднимают с ускорением 2 м/с² на расстояние 100 м по наклонной плоскости с углом наклона 15^о. Коэффициент трения 0, 1. Определить работу, совершаемую при подъеме тела и мощность механизма.

Дано:

m = 5 кг

а = 2 м/с²

S = 100 м

а = 15^о

µ = 0, 1

А -?

N -?

Решение:

Работу, совершаемую при подъеме можно у

найти как произведение силы тяги и перемещения по формуле N х

А = Fт* S F_T

Fтр Силу тяги можно найти используя законы динамики. mg х: ma = Fт - Fтр - mg sin a у: 0 = N - mg cosa решая совместно два уравнения и учитывая, что Fтр = µ N (см. задачу №2) получаем: ma = Fт - µ mg cosa - mg sin a (1) Выражаем из (1) силу тяги Fт Fт = ma + µ mg cosa + mg sin a Fт = m (a + µg cosa + g sin a) (2) Поставляем в (2) значения параметров и находим силу тяги: Fт = 5*(2+0, 1*9, 81*cos 15 + 9. 81*sin 15) = 27. 5 H (3) Зная перемещение и силу тяги, найдем работу: А = Fт* S = 27, 5 * 100 = 2750 Дж = 2, 75 кДж Мощность механизма можно определить по формуле N=А/t. Время подъема можно найти из кинематического уравнения движения:

, отсюдаt =

= 10с, тогда N = 2750/10=275 Вт

Ответ: А = 2, 75 кДж; N = 275 Вт.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 4

Для решения задачи необходимо знать теорему Штейнера, которая позволяет определить момент инерции тела, вращающегося вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии.

Таб. 1 Момент инерции некоторых тел при вращении вокруг оси симметрии.

Тело	Момент инерции Jc
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо	Jc = mR²
Сплошной цилиндр или диск	Jc = mR²
Шар	Jc = mR²
Стержень (l - длина стержня)	Jc = ml²

Пример решения задачи:

Кольцо радиусом R = 50 см и массой 300 г вращается вокруг оси проходящей через середину радиуса. Найти момент инерции кольца.

Дано:

R = 50 см = 0, 5 м

m = 300 г = 0, 3 кг

а = R/2 = 0. 25 м

J -?

Решение: а

1- ось симметрии 2 - ось вращения R

а - расстояние между осями По теореме Штейнера момент инерции определяется следующим образом 1 2 J = Jc + ma², где Jc - момент инерции тела при вращении вокруг оси симметрии (см. таблицу 1) J = mR² + ma² = m(R² + a² ) = 0. 3(0. 5²+0. 25²) = 0. 094 кг*м²

Ответ: J = 0. 094 кг*м²

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 5

Для решения задач из данного раздела необходимо ознакомится с механикой жидкостей.

Пример решения задачи:

По трубе площадью поперечного сечения 50 см² в широком колене и 20 см² в узком течет вода со скоростью υ ₁ = 10 м/с. Статическое давление в широком колене трубы Р₁ =400 кПа. Определить давление в узком колене трубы. Плотность воды 1 г/см³.

Дано:

S₁ = 50 см²=5*10^{-3 м2}

S₂ = 20 см²=2*10^{-3 м2}

ρ = 1 г/см³ = 1000 кг/м³

υ ₁ = 10 м/с

Р₁ = 400 кПа = 4*10⁵Па