Признак перпендикулярности прямой и плоскости

рис. 4

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Замечания:

1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

2. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

3. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Определение: Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

- Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB — наклонная;
B — основание наклонной.

Определение: Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

- Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC — перпендикуляр;

C — основание перпендикуляра.

- Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

- Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB — проекция наклонной AB на плоскость α.

- Треугольник ABC прямоугольный.

- Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

∢ CBA — угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если AD> AB, то DC> BC.

- Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

∢ DAB — угол между наклонными; а ∢ DCB — угол между проекциями.
Отрезок DB — расстояние между основаниями наклонных.

Теорема о трёх перпендикулярах: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

a⊥ AB

a⊥ AB, BC⊥ BA}⇒ a⊥ CA

Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

a⊥ AC

a⊥ AC, BC⊥ BA}⇒ a⊥ BA

Пример: Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведён перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD. Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

Рисунок:

ABCD — квадрат, все углы которого равны по 90° градусов. 1. Грань ASB — прямоугольный треугольник, 2. Грань BSC — прямоугольный треугольник, т. к. BS — перпендикуляр к плоскости.

3. Грань DSC — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: CD⊥ BC, т. к. ABCD− квадратSB⊥ BC, т. к. перпендикуляр}⇒ CD⊥ SC; значит, ∢ SCD= 90°. 4. Грань ASD — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: AD⊥ AB, т. к. ABCD− квадратSB⊥ AB, т. к. перпендикуляр}⇒ AD⊥ SA; значит, ∢ SAD= 90°.

⇐ Предыдущая 12