11 декабря 2021 года. Тема Связь между знаком производной функции и возрастанием и убыванием.

11 декабря 2021 года

Тема Связь между знаком производной функции и возрастанием и убыванием.

Разобраться в решении приведенных примеров и подробно записать их решения и схемы в тетради для индивидуального обучения.

ВАЖНО!

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции нужно решить неравенства или найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.

Пример 1:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции

Решение:

необходимо определить критические точки (в этих точках производная равна 0). Т. е производную надо приравнять 0.

Уравнение имеет корни Это — критические точки. Область определения данной функции — множество — они разбивают на три промежутка: (рис. 1). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Следовательно, данная функция на промежутках возрастает, а на убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках на — убывает.

Пример 2:

Найдите промежутки убывания функции

Решение:

Критические точки: Они всю область определения функции разбивают на интервалы: (рис. 2). Производная на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Следовательно, функция убывает на промежутках Поскольку в точках данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так:

12 Следующая ⇒