Тема: Интегрирование рациональных функций

Тема: Интегрирование рациональных функций

1. Понятие рациональной дроби

Рациональной дробью R (x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. е. всякая дробь вида:

Например, рациональные дроби.

Достаточно рассмотреть правильные дроби, т. е. дроби, в которых степень числителя меньше степени знаменателя n< m.

Если , то дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (для этого делим числитель на знаменатель по правилу деления многочленов):

где R (х) – многочлен-частное (целая часть дроби), S (х) – остаток (многочлен степени n< m).

Например, .

2. Интегрирование рациональных функций

Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из видов:

Эти простейшие дроби интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Пример 1.

Пример 2.

3) Вычисление интегралов вида .

Для нахождения указанных интегралов надо сначала преобразовать знаменатель в разность квадратов, если, или сумму квадратов, если, а затем воспользоваться таблицей неопределенных интегралов.

Пример 3.

12 3 Следующая ⇒