Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит, две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α ∥ β.

Пример:

любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Рис. 1. Стены здания.

Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рис. 2. Доказательство признака параллельности плоскостей.

Доказательство.

Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 — пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть, они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит, она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2, значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит, хотя бы одна из прямых — a1 или a2 — пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть, они параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Рис. 3. Две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью..

12 Следующая ⇒