Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.

Если u=f(x1, x2,.., xn)− u=f(x1, x2,.., xn)− дифференцируемая функция переменных x1, x2,..., xn, x1, x2,..., xn, которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t: t:

x1=φ 1(t), x2=φ 2(t),, xn=φ n(t), x1=φ 1(t), x2=φ 2(t),, xn=φ n(t),

то производная сложной функции u=f(φ 1(t)), φ 2(t), φ n(t))u=f(φ 1(t)), φ 2(t), φ n(t)) вычисляется по формуле

dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt. dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt.

В частности, если tt совпадает, например, с переменной x1, x1, то " полная" производная функции uu по x1x1 равна

dudx1=∂ u∂ x1+∂ u∂ x2⋅ dx2dx1+... +∂ u∂ xn⋅ dxndx1. dudx1=∂ u∂ x1+∂ u∂ x2⋅ dx2dx1+... +∂ u∂ xn⋅ dxndx1.

Пусть u=f(x1, x2,.., xn), u=f(x1, x2,.., xn), где

x1=φ 1(t1, t2,..., tm), x2=φ 2(t1, t2,..., tm),, xn=φ n(t1, t2,..., tm), x1=φ 1(t1, t2,..., tm), x2=φ 2(t1, t2,..., tm),, xn=φ n(t1, t2,..., tm),

(t1, t2,..., tm)− (t1, t2,..., tm)− независимые переменные. Частные производные функции uu по t1, t2,..., tmt1, t2,..., tm выражаются следующим образом:

∂ u∂ t1=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ t1+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ t1+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ t1, ∂ u∂ t1=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ t1+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ t1+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ t1,

∂ u∂ t2=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ t2+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ t2+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ t2, ∂ u∂ t2=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ t2+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ t2+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ t2,

⋯ ⋯

∂ u∂ tm=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ tm+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ tm+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ tm. ∂ u∂ tm=∂ u∂ x1⋅ ∂ x1∂ tm+∂ u∂ x2⋅ ∂ x2∂ tm+... +∂ u∂ xn⋅ ∂ xn∂ tm.

При этом выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид

du=∂ u∂ x1dx1+∂ u∂ x2dx2+... +∂ u∂ xndxn. du=∂ u∂ x1dx1+∂ u∂ x2dx2+... +∂ u∂ xndxn.

Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида

dmu=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+... +∂ ∂ xndxn)mu. dmu=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+... +∂ ∂ xndxn)mu.

Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой

d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+... +∂ ∂ xndxn)2u+d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+... +∂ ∂ xndxn)2u+

+∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+... +∂ u∂ xnd2xn. +∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+... +∂ u∂ xnd2xn.

Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.

Пусть уравнение f(x, y)=0, f(x, y)=0, где f− f− дифференцируемая функция переменных xx и yy определяет yy как функцию x. x. Первая производная этой неявной функции y=y(x)y=y(x) в точке x0x0 выражается по формуле

dydx∣ ∣ ∣ x0=− f′ x(x0, y0)f′ y(x0, y0)(1)dydx|x0=− fx′ (x0, y0)fy′ (x0, y0)(1)

при условии, что f′ y(x0, y0)≠ 0, fy′ (x0, y0)≠ 0, где y0=y(x0), f(x0, y0)=0. y0=y(x0), f(x0, y0)=0.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (1).

Примеры:

7. 114. Найти dzdt, dzdt, если z=e2x− 3y, z=e2x− 3y, где x=tgt, y=t2− t. x=tgt, y=t2− t.

Решение.

Мы будем пользоваться формулой

dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt. dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt.

Найдем частные производные:

∂ z∂ x=e2x− 3y(2x− 3y)′ x=2e2x− 3y; ∂ z∂ x=e2x− 3y(2x− 3y)x′ =2e2x− 3y;

∂ z∂ y=e2x− 3y(2x− 3y)′ y=− 3e2x− 3y; ∂ z∂ y=e2x− 3y(2x− 3y)y′ =− 3e2x− 3y;

dxdt=1cos2t; dxdt=1cos2⁡ t;

dydt=2t− 1. dydt=2t− 1.

Отсюда

dzdt=2e2x− 3y1cos2t− 3e2x− 3y(2t− 1)=2e2tgt− 3(t2− 2)cos2t− 3e(2tgt− 3t2− 2)(2t− 1). dzdt=2e2x− 3y1cos2⁡ t− 3e2x− 3y(2t− 1)=2e2tgt− 3(t2− 2)cos2⁡ t− 3e(2tgt− 3t2− 2)(2t− 1).

Ответ: 2e2tgt− 3(t2− 2)cos2t− 3e3(t2− 2)(2t− 1). 2e2tgt− 3(t2− 2)cos2⁡ t− 3e3(t2− 2)(2t− 1).

7. 115. Найти dzdt, dzdt, если z=xy, z=xy, где x=lnt, y=sint. x=lnt, y=sin⁡ t.

Решение.

Мы будем пользоваться формулой

dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt. dudt=∂ u∂ x1. dx1dt+∂ u∂ x2. dx2dt+... +∂ u∂ xn. dxndt.

Найдем частные производные:

∂ z∂ x=(xy)′ x=yxy− 1; ∂ z∂ x=(xy)x′ =yxy− 1;

∂ z∂ y=(xy)′ y=xylnx; ∂ z∂ y=(xy)y′ =xyln⁡ x;

dxdt=(lnt)′ =1t; dxdt=(ln⁡ t)′ =1t;

dydt=(sint)′ =cost. dydt=(sin⁡ t)′ =cos⁡ t.

Отсюда

dzdt=yxy− 11t+xylnxcost=sint⋅ lntsint− 1t− (lnt)sintcostlnlnt. dzdt=yxy− 11t+xyln⁡ xcos⁡ t=sin⁡ t⋅ ln⁡ tsin⁡ t− 1t− (ln⁡ t)sin⁡ tcos⁡ tln⁡ ln⁡ t.

Ответ: dzdt=sint⋅ lntsint− 1t− (lnt)sintcostlnlnt. dzdt=sin⁡ t⋅ ln⁡ tsin⁡ t− 1t− (ln⁡ t)sin⁡ tcos⁡ tln⁡ ln⁡ t.

7. 118. Найти ∂ z∂ x∂ z∂ x и dzdx, dzdx, если z=ln(ex+ey), z=ln⁡ (ex+ey), где y=13x3+x. y=13x3+x.

Решение.

∂ z∂ x=(ln(ex+ey))′ x=1ex+ey(ex+ey)′ x=exex+ey. ∂ z∂ x=(ln⁡ (ex+ey))x′ =1ex+ey(ex+ey)x′ =exex+ey.

Для нахождения dzdx, dzdx, будем пользоваться формулой

dudx1=∂ u∂ x1+∂ u∂ x2⋅ dx2dx1+... +∂ u∂ xn⋅ dxndx1. dudx1=∂ u∂ x1+∂ u∂ x2⋅ dx2dx1+... +∂ u∂ xn⋅ dxndx1.

∂ z∂ y=(ln(ex+ey))′ y=1ex+ey(ex+ey)′ y=eyex+ey; ∂ z∂ y=(ln⁡ (ex+ey))y′ =1ex+ey(ex+ey)y′ =eyex+ey;

dydx=(13x3+x)′ =3x23+1=x2+1. dydx=(13x3+x)′ =3x23+1=x2+1.

Отсюда

dzdz=∂ z∂ x+∂ z∂ y⋅ dydx=exex+ey+eyex+ey(x2+1). dzdz=∂ z∂ x+∂ z∂ y⋅ dydx=exex+ey+eyex+ey(x2+1).

Ответ: exex+ey; exex+ey; ex+ey(x2+1)ex+ey. ex+ey(x2+1)ex+ey.

7. 123. Найти ∂ z∂ x∂ z∂ x и ∂ z∂ y, ∂ z∂ y, если z=f(u, v), z=f(u, v), где u=ln(x2− y2), v=xy2. u=ln⁡ (x2− y2), v=xy2.

Решение.

Мы будем пользоваться формулами

∂ z∂ x=∂ z∂ u⋅ ∂ u∂ x+∂ z∂ v⋅ ∂ v∂ x, ∂ z∂ x=∂ z∂ u⋅ ∂ u∂ x+∂ z∂ v⋅ ∂ v∂ x,

∂ z∂ y=∂ z∂ u⋅ ∂ u∂ y+∂ z∂ v⋅ ∂ v∂ y, ∂ z∂ y=∂ z∂ u⋅ ∂ u∂ y+∂ z∂ v⋅ ∂ v∂ y,

Найдем частные производные:

∂ u∂ x=(ln(x2− y2))′ x=1x2− y2(x2− y2)′ x=2xx2− y2; ∂ u∂ x=(ln⁡ (x2− y2))x′ =1x2− y2(x2− y2)x′ =2xx2− y2;

∂ u∂ y=(ln(x2− y2))′ y=1x2− y2(x2− y2)′ y=− 2yx2− y2; ∂ u∂ y=(ln⁡ (x2− y2))y′ =1x2− y2(x2− y2)y′ =− 2yx2− y2;

∂ v∂ x=(xy2)′ x=y2; ∂ v∂ x=(xy2)x′ =y2;

∂ v∂ y=(xy2)′ y=2xy; ∂ v∂ y=(xy2)y′ =2xy;

Отсюда

∂ z∂ x=z′ u2xx2− y2+z′ vy2, ∂ z∂ x=zu′ 2xx2− y2+zv′ y2,

∂ z∂ y=z′ u− 2yx2− y2+2z′ vxy. ∂ z∂ y=zu′ − 2yx2− y2+2zv′ xy.

Ответ: ∂ z∂ x=z′ u2xx2− y2+z′ vy2, ∂ z∂ x=zu′ 2xx2− y2+zv′ y2, ∂ z∂ y=z′ u− 2yx2− y2+2z′ vxy. ∂ z∂ y=zu′ − 2yx2− y2+2zv′ xy.

7. 125. Найти dz, dz, если z=f(u, v), z=f(u, v), где u=sinxy, v=x/y− − − √. u=sin⁡ xy, v=x/y.

Решение.

Мы будем пользоваться формулой

dz=∂ z∂ udu+∂ z∂ ydy. dz=∂ z∂ udu+∂ z∂ ydy.

Найдем частные производные:

∂ u∂ x=(sinxy)′ x=1ycosxy; ∂ u∂ x=(sin⁡ xy)x′ =1ycos⁡ xy;

∂ u∂ y=(sinxy)′ y=− xy2cosxy; ∂ u∂ y=(sin⁡ xy)y′ =− xy2cos⁡ xy;

∂ v∂ x=(x/y− − − √ )′ x=12x/y− − − √ (xy)′ x=12yx/y− − − √; ∂ v∂ x=(x/y)x′ =12x/y(xy)x′ =12yx/y;

∂ v∂ y=(x/y− − − √ )′ y=12x/y− − − √ (xy)′ y=− x2y2x/y− − − √. ∂ v∂ y=(x/y)y′ =12x/y(xy)y′ =− x2y2x/y.

Отсюда

du=1ycosxydx− xy2cosxydy. du=1ycos⁡ xydx− xy2cos⁡ xydy.

dv=12yx/y− − − √ dx− x2y2x/y− − − √ dy. dv=12yx/ydx− x2y2x/ydy.

Таким образом,

dz=f′ u(1ycosxydx− xy2cosxydy)+f′ v(12yx/y− − − √ dx− x2y2x/y− − − √ dy)=dz=fu′ (1ycos⁡ xydx− xy2cos⁡ xydy)+fv′ (12yx/ydx− x2y2x/ydy)=

=1y2(yf′ ucosxy+yf′ v12x/y− − − √ )dx− (xcosxy+x2x/y− − − √ )dy. =1y2(yfu′ cos⁡ xy+yfv′ 12x/y)dx− (xcos⁡ xy+x2x/y)dy.

Ответ: 1y2(yf′ ucosxy+yf′ v12x/y√ )dx− (xcosxy+x2x/y√ )dy. 1y2(yfu′ cos⁡ xy+yfv′ 12x/y)dx− (xcos⁡ xy+x2x/y)dy.

7. 138. Найти d2u, d2u, если u=f(ax, by, cz). u=f(ax, by, cz).

Решение.

Обозначим

x1=ax, x1=ax,

x2=by, x2=by,

x3=cz. x3=cz.

Будем пользоваться формулой

d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+∂ ∂ x3dx3)2u+∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+∂ u∂ x3d2x3. d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+∂ ∂ x3dx3)2u+∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+∂ u∂ x3d2x3.

Далее находим,

dx1=d(ax)=adx; dx1=d(ax)=adx;

dx2=d(by)=bdy; dx2=d(by)=bdy;

dx3=d(cz)=cdz; dx3=d(cz)=cdz;

d2x1=(ax)′ ′ xdx2=0; d2x1=(ax)x″ dx2=0;

d2x2=(by)′ ′ ydy2=0; d2x2=(by)y″ dy2=0;

d2x3=(cz)′ ′ zdz2=0. d2x3=(cz)z″ dz2=0.

Таким образом,

d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+∂ ∂ x3dx3)2u+∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+∂ u∂ x3d2x3=d2u=(∂ ∂ x1dx1+∂ ∂ x2dx2+∂ ∂ x3dx3)2u+∂ u∂ x1d2x1+∂ u∂ x1d2x2+∂ u∂ x3d2x3=

=∂ 2u∂ x21dx21+∂ 2u∂ x22dx22+∂ 2u∂ x23dx23+2∂ 2u∂ x1∂ x2dx1dx2+2∂ 2u∂ x1x3dx1dx3+2∂ 2u∂ x2∂ x3dx2dx3==∂ 2u∂ x12dx12+∂ 2u∂ x22dx22+∂ 2u∂ x32dx32+2∂ 2u∂ x1∂ x2dx1dx2+2∂ 2u∂ x1x3dx1dx3+2∂ 2u∂ x2∂ x3dx2dx3=

=∂ 2u∂ x21a2dx2+∂ 2u∂ x22b2dy2+∂ 2u∂ x23c2dz2+2∂ 2u∂ x1∂ x2abdxdy+2∂ 2u∂ x1x3acdxdz+2∂ 2u∂ x2∂ x3bcdydz. =∂ 2u∂ x12a2dx2+∂ 2u∂ x22b2dy2+∂ 2u∂ x32c2dz2+2∂ 2u∂ x1∂ x2abdxdy+2∂ 2u∂ x1x3acdxdz+2∂ 2u∂ x2∂ x3bcdydz.

Ответ: ∂ 2u∂ x21a2dx2+∂ 2u∂ x22b2dy2+∂ 2u∂ x23c2dz2+2∂ 2u∂ x1∂ x2abdxdy+2∂ 2u∂ x1x3acdxdz+2∂ 2u∂ x2∂ x3bcdydz. ∂ 2u∂ x12a2dx2+∂ 2u∂ x22b2dy2+∂ 2u∂ x32c2dz2+2∂ 2u∂ x1∂ x2abdxdy+2∂ 2u∂ x1x3acdxdz+2∂ 2u∂ x2∂ x3bcdydz.

7. 140. Найти dydx, dydx, если x2e2y− y2e2x=0. x2e2y− y2e2x=0.

Решение.

Производнуюdydxdydx ищем по формуле

dydx=− f′ x(x, y)f′ y(x, y). dydx=− fx′ (x, y)fy′ (x, y).

Здесь f(x, y)=x2e2y− y2e2x. f(x, y)=x2e2y− y2e2x.

Найдем частные производные

f′ x(x, y)=(x2e2y− y2e2x)′ x=2xe2y− 2y2e2x; fx′ (x, y)=(x2e2y− y2e2x)x′ =2xe2y− 2y2e2x;

f′ y(x, y)=(x2e2y− y2e2x)′ y=2x2e2y− 2ye2x. fy′ (x, y)=(x2e2y− y2e2x)y′ =2x2e2y− 2ye2x.

Отсюда находим

dydx=− f′ x(x, y)f′ y(x, y)=− 2xe2y− 2y2e2x2x2e2y− 2ye2x=y2e2x− xe2yx2e2y− ye2x. dydx=− fx′ (x, y)fy′ (x, y)=− 2xe2y− 2y2e2x2x2e2y− 2ye2x=y2e2x− xe2yx2e2y− ye2x.

Ответ: y2e2x− xe2yx2e2y− ye2x. y2e2x− xe2yx2e2y− ye2x.

7. 143. Найти dydx, dydx, d2ydx2, d2ydx2, если x− y+arctgy=0. x− y+arctgy=0.

Решение.

Производнуюdydxdydx ищем по формуле

dydx=− f′ x(x, y)f′ y(x, y). dydx=− fx′ (x, y)fy′ (x, y).

Здесь f(x, y)=x− y+arctgy. f(x, y)=x− y+arctgy.

Найдем частные производные

f′ x(x, y)=(x− y+arctgy)′ x=1; fx′ (x, y)=(x− y+arctgy)x′ =1;

f′ y(x, y)=(x− y+arctgy)′ y=− 1+11+y2. fy′ (x, y)=(x− y+arctgy)y′ =− 1+11+y2.

Отсюда находим

dydx=− f′ x(x, y)f′ y(x, y)=− 1− 1+11+y2=1+y2y2. dydx=− fx′ (x, y)fy′ (x, y)=− 1− 1+11+y2=1+y2y2.

Производную второго порядка d2ydx2d2ydx2 находим, дифференцируя выражение dydx=1+y2y2dydx=1+y2y2 по переменной x. x.

d2ydx2=(1+y2)′ xy2− (y2)′ x(1+y2)y4=2yy′ xy2− 2yy′ x(1+y2)y4=− 2y′ xy3=d2ydx2=(1+y2)x′ y2− (y2)x′ (1+y2)y4=2yyx′ y2− 2yyx′ (1+y2)y4=− 2yx′ y3=

=− 21+y2y2y3=− 21+y2y5=− 21+y2y2y3=− 21+y2y5

Ответ: dydx=1+y2y2; dydx=1+y2y2; d2ydx2=− 21+y2y5. d2ydx2=− 21+y2y5.

7. 152. Найти ∂ 2z∂ x2, ∂ 2z∂ x2, ∂ 2z∂ x∂ y, ∂ 2z∂ x∂ y, ∂ 2z∂ y2, ∂ 2z∂ y2, если x+y+z=ez. x+y+z=ez.

Решение.

Производные dzdxdzdx и dzdydzdy ищем по формулам

dzdx=− f′ x(x, y, z)f′ z(x, y, z); dzdx=− fx′ (x, y, z)fz′ (x, y, z);

dzdy=− f′ y(x, y, z)f′ z(x, y, z); dzdy=− fy′ (x, y, z)fz′ (x, y, z);

Здесь f(x, y, z)=x+y+z− ez. f(x, y, z)=x+y+z− ez.

Найдем частные производные

f′ x(x, y, z)=(x+y+z− ez)′ x=1; fx′ (x, y, z)=(x+y+z− ez)x′ =1;

f′ y(x, y, z)=(x+y+z− ez)′ y=1; fy′ (x, y, z)=(x+y+z− ez)y′ =1;

f′ z(x, y, z)=(x+y+z− ez)′ z=1− ez. fz′ (x, y, z)=(x+y+z− ez)z′ =1− ez.

Отсюда находим

dzdx=− f′ x(x, y, z)f′ z(x, y, z)=− 11− ez. dzdx=− fx′ (x, y, z)fz′ (x, y, z)=− 11− ez.

dzdy=− f′ x(x, y, z)f′ z(x, y, z)=− 11− ez. dzdy=− fx′ (x, y, z)fz′ (x, y, z)=− 11− ez.

Производные второго порядка находим, дифференцируя найденные производные первого порядка по соответствующим переменным.

d2zdx2=(1− ez)′ x(1− ez)2=− ezz′ x(1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3. d2zdx2=(1− ez)x′ (1− ez)2=− ezzx′ (1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3.

d2zdxdy=(1− ez)′ y(1− ez)2=− ezz′ y(1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3. d2zdxdy=(1− ez)y′ (1− ez)2=− ezzy′ (1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3.

d2zdy2=(1− ez)′ y(1− ez)2=− ezz′ y(1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3. d2zdy2=(1− ez)y′ (1− ez)2=− ezzy′ (1− ez)2=− − ez⋅ 11− ez(1− ez)2=ez(1− ez)3.

Ответ: d2zdx2=d2zdxdy=d2zdy2=ez(1− ez)3. d2zdx2=d2zdxdy=d2zdy2=ez(1− ez)3.

12 Следующая ⇒