Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

(a − b)² = a²− 2ab + b²

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a²− 2ab + b² = (a − b)²

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a²− 2ab + b² можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

a²− 2ab + b² = (a − b)(a − b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x² − 12xy + 4y²

Чтобы воспользоваться формулой a²− 2ab + b² = (a − b)², нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x, поскольку (3x)² = 9x². Третий член 4y² является результатом возведения в квадрат одночлена 2y, поскольку (2y)² = 4y², а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2 × 3x × 2y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x, а переменная b равна 2y

a = 3x
b = 2y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x² − 12xy + 4y² выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y)², но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x² − 12xy + 4y². Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y)²

9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)²

А поскольку (3x − 2y)² это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y), то исходный многочлен 9x²− 12xy + 4y² можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)

9x²− 12xy + 4y² = (3x − 2y)(3x − 2y)

Полностью решение можно записать так:

9x²− 12xy + 4y² = (3x)² − 2 × 3x × 2y + (2y)² = (3x − 2y)² = (3x − 2y)(3x − 2y)

Пример 2. Разложить на множители многочлен x² − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

x² − 4x + 4 = x² − 2 × x × 2 + 2² = (x − 2)²

Выполнить задания стр. 167 №808 (а, в, д), № 814 (а, б, в)

⇐ Предыдущая 12