Тема Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Цели урока:

образовательная: дальнейшее развитие умений раскладывать многочлены на множители с помощью формулы квадрата суммы и квадрата разности;

развивающая: развитие математической речи, логического мышления, привитие интереса к предмету.

воспитательная: воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности.

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

(a + b)² = a²+ 2ab + b²

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

a²+ 2ab + b² = (a + b)²

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)² представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a²+ 2ab + b², то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).

a²+ 2ab + b²= (a + b)(a + b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x² + 12xy + 9y²

Чтобы воспользоваться формулой a²+ 2ab + b² = (a + b)², нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член многочлена 4x² + 12xy + 9y² является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, поскольку (2x)² = 4x². Третий член 9y² является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, поскольку (3y)² = 9y², а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x, а переменная b равна 3y

a =2x
b = 3y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x² + 12xy + 9y² выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y)², но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x² + 12xy + 9y². Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y)²

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

А поскольку (2x + 3y)² это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y), то исходный многочлен 4x² + 12xy + 9y² можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)(2x + 3y)

Полностью решение можно записать так:

4x² + 12xy + 9y² = (2x)² + 2 × 2x × 3y + (3y)² = (2x + 3y)²

Пример 2. Разложить на множители многочлен x² + 12x + 36

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x² = x², третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 6² = 36, а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6, поскольку 2 × x × 6 = 12x.

Воспользуемся формулой a²+ 2ab + b² = (a + b)². Роль переменной a играет одночлен x, а роль переменной b играет одночлен 6. Отсюда:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

12 Следующая ⇒