Асимптоты графика функции. Примеры.

Асимптоты графика функции

Опр. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Опр. Прямая х = а является вертикальной асимптотой, если по крайней мере один из односторонних пределов равен ± бесконечности, т. е.

, = .

Опр. Прямая у = с является горизонтальной асимптотой, если предел при

х ®± ¥ равен константе, т. е.

Опр. Прямая у = b х + с является наклонной асимптотой если

Примеры.

1. Построить график функции .

Найдем область определения функции. Так как функция дробно-рациональная, то знаменатель не обращается в нуль: х – 2 ¹ 0. т. е.

х Î (-¥; 2) È (2; +¥ )

Исследуем функцию в граничных точках.

=> у =1 - горизонтальная асимптота

=> x = 2 - вертикальная асимптота

=> у =1 - горизонтальная асимптота

Для построения графика полученные данные занесем в таблицу.

х	-¥	2-0		2+0	+¥
у		-¥	разрыв II рода	+¥

Нанесем полученные точки на график:

(-¥; 1) (2-0; -¥ ) (2+0; +¥ ) (+¥; 1)

2. Построить график функции .

Найдем область определения функции. Так как показатель функции есть функция дробно-рациональная, то знаменатель не обращается в нуль: х – 3 ¹ 0. т. е. х Î (-¥; 3) È (3; +¥ )

Исследуем функцию в граничных точках.

=1 => у =1 - горизонтальная асимптота

=> x = 3 - вертикальная асимптота

=> у =1 - горизонтальная асимптота

Для построения графика полученные данные занесем в таблицу.

х	-¥	3-0		3+0	+¥
у			разрыв II рода	+¥

Нанесем полученные точки на график:

(-¥; 1) (3-0; 0) (3+0; +¥ ) (+¥; 1)

Точки подозрительные на разрыв: х = 0 и х = 2

Вычислим пределы в этих точках

Для построения графика полученные данные занесем в таблицу.

х	-¥	-0		+0	2-0		2+0	+¥
у			разрыв I рода			разрыв I рода		¥

(-¥; 3) (-0; 3) (+0; 0) (2-0; 4) (2+0; 3) (+¥; ¥ )

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема1. Если функция непрерывна в точке х₀ и f(x₀) ¹ 0, то существует такая окрестность точки х₀ в которой знак функции f(x) совпадает со знаком f(x₀).

Дано.

Для " e > 0 $d > 0 такая, что в окрестности (х₀ - d; х₀ + d) .

Доказать.

sign f(x) = sign f(x₀), где sign («сигнум»)- знак

Доказательство.

. Распишем модуль.

=> +

Возьмем в качестве e положительное число , тогда и + являются положительны при 0 и отрицательны при . Т. е. функция будет заключена, либо между двумя положительными числами. ьогда она будет положительна, либо между двумя отрицательными числами, тогда она будет отрицательна.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке [a; b] т. е. и значения функции на концах отрезка имеют разные знаки т. е sign f(а) ¹ sign f(b). Тогда на отрезке [a; b] найдется точка с, такая что .

Дано.

Не ограничивая общности, будем считать, что 0.

Доказать

, где с Î [a; b]

Доказательство.

Пусть {x} – множество всех значений х из [a; b] для которых (на рисунке выделено жирной чертой). Это множество не пустое (ему например принадлежит точка а) и ограничено сверху (например, числом х = b). Но тогда существует число, которое будет больше чем любое х из {x} и меньше чем любая из верхних границ. Обозначим это число через с. Заметим, что с Î [a; b]. Убедимся, что . Если бы это было не так, то по теореме 1 существовала бы окрестность точки с, в пределах которой, функция имела бы определенный знак. Но это невозможно, так как существует хотя бы одна точка меньше , в которой по выбору точки с и существует точка больше c, в которой , что означает, что

Теорема доказана.

Теорема 3. (Вейерштрасса)

Непрерывная на отрезке [a; b] функция ограничена на нем.

(без доказательства).

Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то на нем она принимает наибольшее М = , наименьшее т = , а также все промежуточные значения m, такие что для произвольного m, где т < m < М существует хотя бы одна точка с Î [a; b], что m = .

(без доказательства).

⇐ Предыдущая 12