Степенная функция и ее свойства

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Функция вида:

у = хⁿ

называется степенной функцией с натуральным показателем.

При n=1 получаем функцию вида у = х

Рассмотрим свойства функции у = kx:

I. Область определения — D(f)=(-∞; +∞ ).

II. Область значения — E(f)=( -∞; +∞ ).

III. Нечетная, так как f( - kх) = k ( - х)= - kx = -f(x)

IV. При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

График линейной функции y=x

При n=2 получаем функцию вида у = х²— эта функция называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у =х²:

I. Область определения — D(f)=(-∞; +∞ ).

II. Область значения E(f) y∈ [0; +∞ ).

III. Чётная, так как f( - х) = ( - x)²= x² = f (х)

IV. На промежутке (-∞; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +∞ ) функция возрастает.

V. Корень x=0

VI. Экстремумы функции — min при x=0.

График параболы y=x²

При n=3 получаем функцию вида у = х³— эта функция называется кубической параболой.

Рассмотрим свойства функции у = х³:

I. Область определения — D(f)=(-∞; +∞ ).

II. Область значения — E(f)=(-∞; +∞ ).

III. Нечётная, так как f( -х) = ( -x)³= -x³ = -f (х)

IV. Функция возрастает на всей числовой прямой.

V. Корень x=0

VI. Экстремумов нет.

График кубической параболы y=x³

Замечание

Если n> 2 и произвольное четное натуральное число (n=4, 6, 8, …. ), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция у=х²и график функции напоминает параболу.

Если n> 3 и произвольное нечетное натуральное число (n=5, 7, 9, …. ), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция у=х³и график функции напоминает кубическую параболу.

12 Следующая ⇒