Разрывы функции. Разрыв первого рода. Разрыв второго рода. Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке. Задания для самостоятельного решения (домашнее задание)

Разрывы функции

Разрыв первого рода

Пусть и существуют:

I. Если , то в точке функция
испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

2. – целая часть числа x.

1. – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

Разрыв второго рода

Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на .
Или , где .

Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные
значения на .
Или , где – область значений.

Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой .
Или .

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Задания для самостоятельного решения (домашнее задание)

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Пример 7

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Пример 9

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.