Пример.. Пример.. Решение.. 1.6.2. Композиция функций

Пусть  - тотальная биекция, тогда отношение  также является тотальной биекцией.

Доказательство.

1. Докажем, что  - функция.

Пусть

, т. к. функция f – инъекция (у каждого образа y есть единственный прообраз x).

2.  – тотальна,  = Y, т. к. f – сюръекция.

3.  – сюръекция, т. к. f – тотальна.

Итак, если f – тотальная биекция, то все элементы множества X – прообразы (тотальность), а все элементы множества Y – образы (сюръекция). Тогда, по определению , все элементы множества Y становятся прообразами (тотальность), а элементы множества X становятся образами (сюръективность).

4. Докажем, что  – инъекция. Допустим, что это не так, : . Но тогда  - противоречие, так как f – функция.

Пример.

Функция  задана формулой: f (x) = 1+2/x, где A = R\{0}, B = R\{1}.

Показать, что f – тотальная биекция и найти .

Решение.

Возьмем х R\{0}. По этому значению х однозначно определяется у = =1+2/x. Следовательно, f – тотальная функция.

Покажем, что f – биекция. Возьмем у R\{1}. Определим х по этому значению у, у = 1+2/x Þ х = 2/(у - 1). Значение х вычисляется однозначно, f – тотальная биекция.

=  {(у, х)| y = 1+2/x, x, y Î R, } =

= {(х, у)| y = 2/(х - 1), x, y Î R, }.

Пусть AÍ X, тогда по определению . Множество  называется образом множества А.

Пусть BÍ Y, тогда по определению . Множество  называется прообразом множества В.

Пример .

Положим у = х². Найти образы множеств [0; 1]; [-2; 1); [-2; 2);

(-3; -1. 5) (0; 2).

Найти прообразы множеств [0; 1]; [1; 4]; [0, 01; 0, 25].

Решение. f([0; 1]) = [0; 1]; f([-2; 1)) = [0; 4]; f([-2; 2)) = [0; 4]; f((-3; -1, 5) (0, 2)) = (0; 9); ([0; 1]) = [-1; 1]; ([1; 4]) = [-2; -1] [1; 2]; ([0, 01; 0, 25]) = [-0, 5; -0, 1] [0, 1; 0, 5].

1. 6. 2. Композиция функций

Так как всякая функция – это бинарное отношение, можно строить композицию функций, как композицию бинарных отношений.

Если f: X® Z (z = f(x)) и g: Z® Y (y = g(z)), их композиция  f g определяется обычным образом,

f g = {(x, y)| xÎ X, yÎ Y, ( zÎ Z): (x, z)Î f и (z, y)Î g}.

Учитывая, что f и g – функции, можно записать f g = {(x, y)| xÎ X, yÎ Y, ( zÎ Z): (x, z)Î f и (z, y)Î g} = {(x, y)| ( z): z = f(x)и  y = g(z)} = {(x, y)| y = g(f(x))}.

Теперь видно, что композиция функций – не просто бинарное отношение, а тоже функция, отображающая множество Х в множество Y.

Пример.

Пусть f(x) = 2x + 1, g(x) = .

Найти f g, g f и f f. Указать области определения и области значений этих функций.

Решение .

(f g)(x) = g(f(x)) = , , (f g)(x) ³ 0;

(g f)(x) = f(g(x)) = 2 +1, , (g f)(x) ³ 1.

Композиция - некоммутативная операция,

f g(x)≠ g f(x).

Покажем, что для композиции справедлив закон ассоциативности.

Пусть f, g, h - три функции с согласованными областями определений и значений, так что их композицию можно найти. Тогда

(f g) h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x)))

f (g h)(x)= (g h)(f(x)) = h(g(f(x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций. Та единственная функция, которая есть результат композиции функций f₁, f₂, f₃, …, f_n (в указанном порядке), так и обозначается:

f₁ f₂ f₃  … f_n.

Пример.

Найти все композиции функций   f₁ = x², f₂ = sin(x), f₃ = x³ – 1

f₁ f₂ f₃ = (sin(x²))³– 1, f₁ f₃ f₂ = sin(x⁶ – 1), f₂ f₁ f₃ = sin⁶(x) – 1,

f₂ f₃ f₁ = (sin³(x)-1)², f₃ f₁ f₂ = sin(x³ – 1)², f₃ f₂ f₁ = sin²(x³ – 1).

Положим теперь, что f и g - биекции. Если z = f(x), то

 – биекция. Если y = g(z), то z =  – биекция. Выясним, какими свойствами обладает композиция биекций.

Утверждение.

Композиция взаимно однозначных функций – взаимно однозначная функция, при этом .

Доказательство.

1.  в силу доказанного в лекции 1. 4 свойства композиции всяких бинарных от ношений.

2. Допустим, что . Тогда g(f(x₁)) = g(f(x₂)) = y. В силувзаимной однозначности функции g f(x₁) = f(x₂). В силу взаимной однозначности функции f x₁ = x₂.

В заключение приведем ещё несколько примеров решения задач.

Пример 1. Пусть Х, Y – два множества, состоящие из n и m элементов соответственно. Какова мощность множества всех тотальных функций, определенных на Х, со значениями в Y?

Решение. Чтобы задать любую тотальную функцию нужно выполнить одно за другим и независимо одно от другого n действий: указать образ каждого элемента множества Х. Но каждое действие можно выполнить m способами Þ число функций равно mⁿ.

Пример 2. Доказать, что , где f – произвольная функция, и что равенство получается, когда  инъекция. Привести пример строгого включения.

Решение .

1.  и

 и .

2. Если  инъекция, условие однозначности выполнено также и для значений функции , по каждому значению  однозначно определяется аргумент , значение которого равно .

,

, .

3. Если  не инъекция, то множества  аргументов могут вообще не пересекаться, а множества  значений могут иметь не пустое пересечение. Положим . Тогда , , ,

.

Пример 3. Доказать, что .

Решение .

,

, .

,  и

.

Замечание. Запись  читается так: существует и единственен элемент .