Вопросы для подготовки к экзамену

Вопросы для подготовки к экзамену

МТ факультет, 1 курс, 2 семестр

1. Функции нескольких переменных

1) Функции нескольких переменных. Область определения функции, предел и непрерывность

функции в точке.

2) Частные производные функции двух переменных.

3) Полный дифференциал функции, его связь с частными производными.

4) Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

5) Дифференцирование сложных функций.

6) Дифференцирование неявных функций.

7) Частные производные высших порядков.

8) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

9) Скалярные и векторные поля. Производная функции по направлению.

10) Градиент скалярного поля и его свойства.

2. Неопределенный интеграл

1) Первообразная функции. Теорема о свойстве первообразных функции.

2) Неопределенный интеграл и его геометрический смысл.

3) Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

4) Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5) Замена переменной в неопределенном интеграле.

6) Интегрирование рациональных дробей.

7) Интегрирование тригонометрических выражений.

8) Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.

3. Определенный интеграл

1) 3адачи, приводящие к понятию определенного интеграла:

а) задача о вычислении площади криволинейной трапеции,

б) задача о вычислении работы переменной силы на прямолинейном участке пути.

2) Понятие определенного интеграла. Теорема существования определенного интеграла.

3) Физический и геометрический смыслы определенного интеграла.

4) Свойства определенного интеграла и их геометрическая иллюстрация.

5) Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.

6) Формула Ньютона – Лейбница.

7) Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

8) Интегралы от четных и нечетных функций на симметричном промежутке.

9) Несобственные интегралы первого рода.

10) Несобственные интегралы второго рода.

11) Приложение определенного интеграла:

а) вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах,

б) вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах,

в) вычисление длины дуги кривой в прямоугольных координатах,

г) вычисление длины дуги кривой в полярных координатах,

д) вычисление объема тела вращения,

е) решение физических задач.