Тема 6. Частотные критерии устойчивости

Тема 6. Частотные критерии устойчивости

6. 1 Критерий Найквиста

Критерий Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по ее амплитудно-фазовой характеристике в разомкнутом состоянии. Установим связь между п. ф. одноконтурной системы в замкнутом и разомкнутом состояниях. Рассмотрим функцию

(6. 1)

где числитель представляет характеристический полином системы в замкнутом состоянии, а знаменатель — характеристический полином разомкнутой по цепи главной обратной связи системы. Выражение

(6. 2)

есть передаточная функция разомкнутой системы.

Так как порядок полинома D(p) для физически реализуемых систем не должен превышать порядок полинома G(p), то характеристическое уравнение замкнутой системы

G(p) + D(p) = 0 (6. 3)

имеет столько же корней, сколько и характеристическое уравнение разомкнутой системы

G(p) = 0. (6. 4)

При выводе критерия Найквиста будем исходить из того, что система устойчива как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии, т. е. вещественные части корней уравнений (6. 3) и (6. 4) отрицательны.

Заменив в уравнении (7. 1) р на jω и разложив числитель и знаменатель на простейшие множители, получим уравнение амплитудно-фазовой характеристики замкнутой системы:

(6. 5)

где р₁, р₂, ..., р_m; s₁, s₂, ..., s_m — соответственно корни уравнении (6. 3) и (6. 4).

Множители числителя и знаменателя правой части выражения (7. 5) представляют векторы, располагаемые в комплексной плоскости слева от мнимой оси (рисунок 6. 1, а). Начало каждого вектора лежит в точке, соответствующей корню уравнения р_к, а конец — на мнимой оси.

При изменении частоты ω от -∞ до +∞ каждый из векторов повернется на угол π. Числитель выражения (6. 5) представляет вектор, модуль которого А равен произведению модулей перемножаемых векторов, а аргумент φ _А — сумме аргументов тех же т векторов.

Поэтому при изменении ω от - ∞ до +∞ результирующий вектор D(jω ) + G(jω ) повернется на угол φ _А = mπ . Так как по условию корни G(p) = 0 лежат слева от мнимой оси, угол поворота φ В результирующего вектора, имеющего модуль В, при изменении ω от - ∞ до +∞ также будет равен mπ. Нетрудно заключить поэтому, что угол поворота вектора 1 + W(jω ) при изменении ω от - ∞ до +∞ равен

φ _А - φ _В = mπ – mπ = 0. (6. 6)

Рисунок 6. 1 - Пояснения критерия Найквиста: а) расположение векторов р-pi в комплексной плоскости; б) АФХ разомкнутой системы

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы получается путем замены р на jω в уравнении (6. 2):

(6. 7)

Она отображает границу области устойчивости. При ω → 0 W(jω )→ a_n/b_m, а при ω → ∞ W(jω )→ 0, если порядок числителя меньше порядка знаменателя (n< m), и W(jω )→ а₀/b₀ при равенстве порядков числителя и знаменателя (n= m).

Амплитудно-фазовая характеристика при изменении ω от - ∞ до +∞ симметрична относительно оси абсцисс (рисунок 6. 1, б). Если из точки с координатами (-1; j0) провести вектор, который своим концом касается амплитудно-фазовой характеристики, то получим вектор 1 + W(jω ), так как О₁А = ОА - (-1) = 1 + ОА = 1 + W(jω ).

При изменении ω от - ∞ до +∞ конец вектора 1 + W(jω ) будет скользить по амплитудно-фазовой характеристике, а сам вектор повернется на угол, результирующее значение которого равно нулю. Последнее возможно, если точка (-1; j0) лежит вне амплитудно-фазовой характеристики. Это условие согласуется с условием (2. 6), которое возможно лишь в случае, когда система устойчива.

Первый критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчивой в том случае, если устойчива разомкнутая система и ее амплитудно-фазовая характеристика не охватывает точку (-1; j0).

Кривая (рисунок 6. 1, б), представляющая частотную характеристику устойчивой системы, пересекается с осью абсцисс справа от точки (-1; jО) и называется амплитудно-фазовой характеристикой первого рода. Кривая (рисунок 7. 2, а), пересекающаяся с осью абсцисс и справа, и слева от точки (-1; jО), называется амплитудно-фазовой характеристикой второго рода. В этом случае система в замкнутом состоянии будет устойчивой при условии, если, разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки (-1; jО) равна нулю.

Рисунок 6. 2 - Исследование устойчивости по АФХ: а) АФХ второго рода; б) определение запаса устойчивости по модулю и фазе

При анализе устойчивости системы по амплитудно-фазовым характеристикам целесообразно ввести понятие запаса устойчивости по модулю и по фазе. Если через точку (-1; jО) (рисунок 7. 2, б) провести окружность единичного радиуса, получим точку пересечения ее с амплитудно-фазовой характеристикой (точка А). Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком h, а запас устойчивости по фазе — углом γ.

В общем случае, если степень полинома D(jω ) в уравнении (7. 7) меньше степени полинома G(jω ) и они не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью, критерий Найквиста формулируется следующим образом: САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числам положительных и отрицательных переходов АФХ через ось абсцисс слева от точки (-1; j0) равна r/2. Сформулированный ранее критерий устойчивости Найквиста следует рассматривать как частный случай общей задачи при r = 0 (r – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

12 Следующая ⇒