Задание: изучить материал лекции и выписать примеры применения дифференциала к приближённым вычислениям

Лекция

Задание: изучить материал лекции и выписать примеры применения дифференциала к приближённым вычислениям

Тема урока: Нахождение приближенных значений величин с помощью дифференциала.

Цель: сформировать представление о методах численного дифференцирования.

Ход урока

1. Лекция

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений.

Подчеркнем важные отличия численных методов от аналитических. Во-первых, численные методы позволяют получить лишь приближенное решение задачи. Во-вторых, они обычно позволяют получить лишь решение задачи с конкретными значениями параметров и исходных данных. Численные методы незаменимы в сложных задачах, которые не допускают аналитического решения. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением компьютеров начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за короткое время объем вычислений в миллиарды, триллионы и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Разработкой численных методов занимались крупнейшие ученые своего времени: Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Эрмит, Чебышев и др. Численные методы, разработанные ими, носят их имена.

Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством — не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей. Рассмотрим один из численных методов нахождения значений функций с помощью дифференциала.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример 1. Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что , то есть , .