Пример 1.. Пример 2.. Пример 3. Решение.

Пример 1.

Доказать, что объем усеченной пирамиды с высотой Н и с площадями оснований S и s равен

Доказательство.

Пусть точка О – вершина «полной» пирамиды. Ось 0х перпендикулярна основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось 0х в точках a и b. Каждая плоскость, перпендикулярная оси 0х и пересекающая отрезок [a; b]этой оси в точке х дает в сечении многоугольник, подобный многоугольнику – основанию пирамиды. Поэтому площадь сечения S(x) = kx²

S = S(a) = ka² и S = S(b) = kb²

Пример 2.

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [a; b] оси 0х и ограничена сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b].

При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси 0х получаем тело, объем которого находится по формуле

Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси 0х и пересекающая отрезок [a; b] этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f(x)и площади S(x) = p f ²(x). Отсюда по формуле

Пример 3

Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

Решение.

По закону Гука сила F , растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F = kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности, точка 0 соответствует свободному положению пружины.

Из условия задачи следует, что 3 = k ^. 0, 05Þ k=60 и F=60х.

12 Следующая ⇒