§7 Правило Лопиталя.. Замечания. Примеры. Контрольная Работа по теме «Дифференцирование».. 1. Найти f’(x) производную композиции функций.. 2. Найти производную функции (1+f(x))g(x) (1∞).. 3. Вычислить предел (правило Лопиталя).. 4. Для заданной функ

§7 Правило Лопиталя.

Пусть функции f(x) и g(x) –бесконечно малые при x→ a исуществуют f’(a), g’(a).
При x→ a по формуле Тейлора (ф. Т):

Лемма

Если для бесконечно малых при x→ a функций f(x) и g(x)существуют f’(a), g’(a) и g’(a)≠ 0, то

Доказательство:

Утверждение (Правило Лопиталя)
Если для б. малых или б. больших при х→ а функций f(x), g(x)существует предел отношения их производных и в некоторой ПО(а, r> 0) g’(x)≠ 0, предел отношения
этих функций равен пределу отношения их производных:

Замечания

1. Правило Лопиталя может быть «продолжено»:

3. Прежде, чем использовать правило Лопиталя, рекомендуется упростить дробь -«вынести за знак предела»конечные и не равные нулю/∞ пределы функций-множителей.

Примеры

Из (3, 4) следует, что при х→ ∞
- экспонента e^x возрастает быстрее любой степенной функции,
- логарифмическая функция ln(x) возрастает медленнее любой степенной функции.

Контрольная Работа по теме «Дифференцирование».

1. Найти f’(x) производную композиции функций.

2. Найти производную функции (1+f(x))g(x) (1∞ ).

3. Вычислить предел (правило Лопиталя).

4. Для заданной функции f(x) и заданной точке x0: (а) записать формулу и полином Тейлора 1 порядка, уравнение касательной прямой; (б) вычислить приближенное значение функции в точке x=x0-0. 1.

Пример.

⇐ Предыдущая 12