§6 Локальные экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия.

§6 Локальные экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия.

Пусть функция f: D_f⊂ R→ R, f(x) определена в O(a, r> 0) и непрерывна в точке а:

f(x→ a)→ f(a)

Определения (1)Точка аназывается точкой локального экстремума (минимума/максимума) непрерывной функции f, если в некоторой ПО(а, r> 0)выполняется неравенство f(x)> f(a) /f(x)< f(a).

XЛЭ=а ó ∃ r> 0∀ x∊ ПО(а, r)∩ Df: f(x)> f(a) ⋁ f(x)< f(a).

(2) Точка а∊ D_f называется стационарной точкой функции, если f’(a)=0 (y_KAC=f(a) ||OX),
и называется критической точкой функции, если f’(a)=0 или Ɇ f’(a).

Следствия (Необходимый признак ЛЭ).
1) Непрерывная функция достигает локального экстремума (ЛЭ) только в критической точке:

f_непр(а)=
2) Дифференцируемая функция достигает локального экстремума (ЛЭ) только в стационарных точках: f_дифф.(а)=
Замечание Необходимый признак не является достаточным признаком ЛЭ: не всякая
критическая точка является точкой локального экстремума функции

Теорема ( Достаточный признак л. экстремума )

« Если функция f: (1) непрерывна в точке а , (2) дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и (3) f '( x< a)∙ f' (x> a) < 0 - производная функция «меняет знак при переходе через точку”, то точка х=а является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть, например,

Из формулы Лагранжа f(x) =f(a) + f'(c)(x-a); сÎ (x; a) следует:

ПРИМЕРЫ
1)

2)

12 Следующая ⇒