|
|||
Определение.. Определение. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Определение. Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания. Апофема исходной пирамиды – РМ (М – середина АВ), апофема усеченной пирамиды – (рис. 4). Определение. Апофема усеченной пирамиды – высота любой боковой грани. Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани – равные равнобедренные трапеции. Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды – рис. 4): Итак, необходимо доказать: Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней – трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем: Площадь равнобедренной трапеции – это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем: Что и требовалось доказать. Для n-угольной пирамиды: Где n – количество боковых граней пирамиды, a и b – основания трапеции, – апофема. Решение задачи 1 Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота – 4 см. Найти площадь боковой поверхности. Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1 Решение. Проиллюстрируем условие: Задано: , , Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды. Рис. 6. Дополнительные построения Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра ( ). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см. Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды: Вв
|
|||
|