Определение.. Определение.

Определение.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.

Апофема исходной пирамиды – РМ (М – середина АВ), апофема усеченной пирамиды – (рис. 4).

Определение.

Апофема усеченной пирамиды – высота любой боковой грани.

Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани – равные равнобедренные трапеции.

Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды – рис. 4):

Итак, необходимо доказать:

Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней – трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем:

Площадь равнобедренной трапеции – это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем:

Что и требовалось доказать.

Для n-угольной пирамиды:

Где n – количество боковых граней пирамиды, a и b – основания трапеции, – апофема.

Решение задачи 1

Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота – 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Проиллюстрируем условие:

Задано: , ,

Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.

Рис. 6. Дополнительные построения

Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра ( ). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.

Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:

Вв

⇐ Предыдущая 12