«Вычисление пределов»

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Практическая работа по теме:

«Вычисление пределов»

Цель: формирование умений вычислять пределы последовательностей и функций,

раскрывать в простейших случаях неопределенности.

Методические рекомендации для выполнения

практической работы по теме:

1. Пределы числовых последовательностей

Числовые последовательности. Формула общего члена.

Предел числовой последовательности. Сходящаяся и

расходящаяся последовательности. Ограниченная

последовательность. Монотонная последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.

Некоторые замечательные пределы.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, …, n –1, n, ….

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁, u₂, u₃, …, u_n_-₁, u_n, …, кратко обозначаемый { u_n}

и называемый числовой последовательностью. Величина u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой u_n = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;

1. 4, 1. 41, 1. 414, 1. 4142, … - числовая последовательность

приближённых значений

с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a - , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).

Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n} и { v_n} - две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n }, { w_n }удовлетворяют неравенствам

Замечательные пределы

12 3 Следующая ⇒