Интегрирование. Неопределенный интеграл. Метод интегрирования по частям.

Интегрирование

Неопределенный интеграл

Метод замены переменной (подстановки). Пусть функция u = j (х) – определена и дифференцируема на промежутке Х, U – множество ее значений. Пусть для функции f(u) на промежутке U существует первообразная F(u), т. е. F ´ (u) = f(u).

Тогда на промежутке Х определена и дифференцируема сложная функция F(j (х)) и, по правилу дифференцирования сложной функции, (F(j (х)))´ = F ¢ (j (х))j ¢ (х) = f(j (х))j ¢ (х).

Следовательно, F(j (х)) – первообразная для функции f(j (х))j ¢ (х) на промежутке Х. Это означает, что если ò f(u)du = F(u) + С, то ò f(j (х))j ¢ (х)dx = F(j (х)) + С или ò f(j (х))d(j (х)) = F(j (х)) + С.

Приведенную выше формулу называют формулой интегрирования заменой переменной.

Отметим важные частные случаи последней формулы.
Пусть F(х) – первообразная для функции f(х), то есть ò f(х)dх = F(х) + С. Тогда

Метод интегрирования по частям.

ТЕОРЕМА. Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема на промежутке Х и функция v(x)u¢ (x) имеет первообразную на Х, тогда функция u(x)v¢ (x) также имеет первообразную на Х, причем справедлива формула q Воспользуемся формулой для производной произведения двух функций (u(x)v(x))¢ = u¢ (x)v(x) + u(x)v¢ (x). Отсюда u(x)v¢ (x) = (u(x)v(x))¢ - u¢ (x)v(x). Интегрируя это равенство и учитывая, что ò (u(x)v(x))¢ dх = u(x)v(x), получим требуемую формулу.

ЗАМЕЧАНИЕ. Воспользовавшись определением дифференциала, формулу интегрирования по частям можно записать в другом виде:. Итак ò udv = u v - vdu

12 Следующая ⇒