Задание 5. Задание 6. Ответ: Это окружность.. Задание 7
Задание 5
Доказать неравенство
.
Решение. Рассмотрим три вектора . Пусть угол между векторами и равен , а между векторами и равен . Тогда , , . Следовательно, и . Поэтому
Задание 6
Дан треугольник. Найти геометрическое место центров правильных треугольников, описанных около него (см. рисунок).
Ответ: Это окружность.
Решение. Пусть дан треугольник . Рассмотрим три правильных треугольника , и , построенных на сторонах , и во внешнюю сторону, и их описанные окружности (см. рисунок). Вершины любого правильного треугольника , описанного около треугольника , лежат на окружностях . Центр Z треугольника – точка пересечения двух биссектрис его углов и . Эти биссектрисы пересекаются под углом 120 градусов и проходят через две фиксированные точки X и Y – середины дуг и окружностей и , не содержащих точек и . Т. е. искомое г. м. т. – окружность. Она проходит через точку Торричелли и середины дуг , и окружностей .

Задание 7
a) Доказать, что наименьшее общее кратное чисел равно наименьшему общему кратному чисел .
Решение. Пусть есть НОК , а – НОК .
Покажем, что произвольное число d из множества чисел делит . В самом деле, последовательно удваивая d, на некотором этапе мы попадем на отрезок . Получившееся число d’, кратное d и делит .
Поэтому является наименьшим общим кратным и для чисел .
Задание 8
Пусть квадратная матрица A размером такая, что для некоторого натурального выполняется равенство .
Найти значение суммы , если – ранг матрицы A, E –единичная матрица размером .
Ответ: 2017.
Решение. Заметим, что . Так как (неравенство Сильвестра), то . С другой стороны, . Следовательно, .
|