Задание 5. Задание 6. Ответ: Это окружность.. Задание 7

Задание 5

Доказать неравенство

Решение. Рассмотрим три вектора . Пусть угол между векторами и равен , а между векторами и равен . Тогда , , . Следовательно, и . Поэтому

Задание 6

Дан треугольник. Найти геометрическое место центров правильных треугольников, описанных около него (см. рисунок).

Ответ: Это окружность.

Решение. Пусть дан треугольник . Рассмотрим три правильных треугольника , и , построенных на сторонах , и во внешнюю сторону, и их описанные окружности (см. рисунок). Вершины любого правильного треугольника , описанного около треугольника , лежат на окружностях . Центр Z треугольника – точка пересечения двух биссектрис его углов и . Эти биссектрисы пересекаются под углом 120 градусов и проходят через две фиксированные точки X и Y – середины дуг и окружностей и , не содержащих точек и . Т. е. искомое г. м. т. – окружность. Она проходит через точку Торричелли и середины дуг , и окружностей .

Задание 7

a) Доказать, что наименьшее общее кратное чисел равно наименьшему общему кратному чисел .

Решение. Пусть есть НОК , а – НОК .

Покажем, что произвольное число d из множества чисел делит . В самом деле, последовательно удваивая d, на некотором этапе мы попадем на отрезок . Получившееся число d’, кратное d и делит .