Задание 1. Задание 2. Ответ: Да.. Задание 3. Задание 4

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Задание 1

Функция при любом значении x удовлетворяет соотношению

, где – некоторое число. Докажите, что функция периодична.

Решение. Покажем, что – период функции . Находим,

Функция

удовлетворяет условию задачи.

Задание 2

Найдется ли простое число , большее , такое, что число составное?

Ответ: Да.

Решение. Пусть простое число, большее . Прибавим раз к нему число . Получим составное число . Ясно, что на одном из шагов прибавления из некоторого простого числа получилось составное.

Задание 3

Докажите, что для некоторого многочлена степени n с целыми коэффициентами.

Решение. Будем действовать по индукции, одновременно доказывая, что для некоторого многочлена степени n с целыми коэффициентами.

Интегрируя по частям (при ) имеем индукционный переход:

При имеем .

Задание 4

В -угольнике проведены все диагонали. Можно ли на сторонах и диагоналях поставить стрелки так, чтобы сумма получившихся векторов равнялась нулю?

Ответ: Всегда можно.

Решение. Все эти линии разбиваются на замкнутые ломаные: стороны многоугольника, если соединять через одну, если соединять через 2 (может образоваться одна или три замкнутые ломаные) и т. д. (При четном числе вершин возникают пары диаметрально противоположных точек, но у нас число вершин нечетное. )

12 Следующая ⇒