Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=8t–4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.

Решение:

Воспользуемся определением первообразной, т. к. S(t)=v₀t+at²/2

S’(t) = v(t).

Найдем все первообразные S(t)= -4t+4t² +c.

Подставим t=2c и пройденный путь S=4 м.

4= -8+16+с

С= -4.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

s(t)=4t²–4t–4

Ответ: s(t)=4t²–4t–4

№2. По графику первообразной функции y = F(x) определите количество точек, в которых функция y = f(x) равна нулю.

Решение:

Так как F'(x) = f(x) -по определению первообразной, то точки, в которых функция f(x) (производная функции F(x)) – это точки экстремума функции F(x). А таких точек на графике 4.

Ответ: 4.

№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Решение:

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 2. Это (-2; 1) и (2; 5).

Ответ: (-2; 1); (2; 5).

№4. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x).