Контакты

Случайная статья

Производная по направлению. Градиент.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению вычисляется по формуле

(1)

Скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется вектором, который обозначается символом и называется градиентом функции:

(2)

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении . Чему равна величина градиента функции в этой точке?

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные в точке :

Значит, производная функции в заданном направлении равна

.

В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке – вектор

Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻

Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :

.

Найдем направляющие косинусы:

.

По формуле (1) запишем

. ☻

Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках и .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные:

Теперь можем записать градиент функции в точках и :

,

.

Очевидно, эти векторы ортогональны – их скалярное произведение равно нулю: . Значит, угол между градиентами равен . ☻

12 Следующая ⇒

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.