Решить самостоятельно 660, 661.

Решить самостоятельно 660, 661.

ГЕОМЕТРИЯ

Свойства биссектрисы угла.

Пункт 72 на стр. 176-177 до определения срединного перпендикуляра.

Разберём задачи 674-678

Указания к решению.

674) Пусть АВ пересекает ОМ в точке К. Докажите, что треугольники АКМ и ВКМ равны, воспользовавшись тем, что АМ=МВ, и угол АМО равен углу ВМО (это следствие из теоремы о биссектрисе неразвёрнутого угла). Затем воспользуйтесь вытекающим из равенства треугольников равенством углов АКМ и ВКМ.

675) Если из точки О проведены касательные ОА и ОВ к окружности с центром М, где А и В – точки касания, то очевидно, что точка М равноудалена от сторон угла АОВ (радиусы АМ=ВМ являются перпендикулярами, проведёнными из точки М к сторонам угла АОВ). Следовательно, по теореме о биссектрисе угла, ОМ является биссектрисой угла АОВ.

Докажите, что центры окружностей, данных в задаче лежат на биссектрисе угла О, и что точка А лежит на прямой соединяющей центры окружностей (так как радиусы, проведённые в точку касания А, перпендикулярны общей касательной).

676) Воспользуйтесь тем, что точка О лежит на биссектрисе угла А, а треугольник АОВ (где В – точка касания) – прямоугольный.

677) Если через точку В проведена биссектриса внешнего угла АВС₁ (где луч ВС₁ – продолжение луча ВС) и биссектриса внешнего угла СВА₁ (где луч ВА₁ – продолжение луча ВА), то обе эти биссектрисы являются лучами, лежащими на одной прямой ВО. Следовательно, любая точка прямой ВО равноудалена от прямых АВ и СВ. Докажите это самостоятельно.

Аналогично доказывается, что любая точка прямой СО равноудалена от прямых АС и СВ. Доведите доказательство до конца самостоятельно.

678) Углы АСМ и ВСМ равны половине угла С (докажите самостоятельно, воспользовавшись следствием к теореме о биссектрисе). Обозначив угол АВМ за х, а угол ВАМ за у получим, что угол АМВ равен 180 -х-у, а угол С равен 180 -2х-2у. Доделайте задачу самостоятельно.

Решите следующую задачу.

Доказать, что перпендикуляр, проведённый через середину хорды окружности, является диаметром.

⇐ Предыдущая 12