Решение квадратных неравенств. Повторение.

АЛГЕБРА

Решение квадратных неравенств. Повторение.

Параграф 40.

Пусть у нас есть неравенство ах²+bx+c> 0 и пусть а> 0

1)Разберём сначала случай, когда существуют x₁< x₂ - корни уравнения ax²+bx+c=0

Тогда ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) и неравенство сводится к неравенству a(x-x₁)(x-x₂)> 0, а оно в свою очередь к системам неравенств (напоминаю, что a> 0)

x-x₁> 0 x-x₁< 0

x-x₂> 0 или x-x₂< 0 тогда, если х₁< x₂, то решением неравенства будет множество

2) Очевидно, что неравенство ax²+bx+c< 0 при a> 0 и x₁< x₂ имеет решением множество x₁< x< x₂

3) Если неравенство нестрогое, то знаки “> ” и “< ” в решении надо заменить на знаки “ ” и “ ”.

4) Если a< 0, то умножая неравенство на (-1), получим неравенство вида (1) или (2).

5) Если корней уравнения ax²+bx+c=0 не существует, то либо ax²+bx+c> 0 при любых х, либо ax²+bx+c< 0 при любых х. При а> 0 и при отсутствии корней ax²+bx+c всегда положителен, а при a< 0 – всегда отрицателен.

6) Если корень уравнения ax²+bx+c=0 единственный и равен х₁, то ax²+bx+c=a(x-x₁)² и при а> 0 ax²+bx+c всегда положителен кроме х=х₁, а при а< 0 ax²+bx+c всегда отрицателен кроме х=х₁.

Разберём несколько примеров