Определённый интеграл. Примеры вычисления

Определённый интеграл. Примеры вычисления

Для того чтобы научиться решать определённые интегралы необходимо

1) Уметь находить неопределённые интегралы.

2) Уметь вычислить определённый интеграл.

В общем виде определённый интеграл записывается так:

По сравнению с неопределённым интегралом прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования обозначается буквой а.

Верхний предел интегрирования обозначается буквой b.

Отрезок [a; b] называется отрезком интегрирования.

Определённый интеграл – это число. Решить определённый интеграл это значит найти число.

Находится определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Этапы решения определённого интеграла.

1) Сначала находим первообразную функцию

F(Х)

(неопределённый интеграл). Константа С в определённом интеграле не добавляется.

Обозначение

является чисто техническим, и вертикальная палочка не несёт никакого математического смысла. Запись

нужна для подготовки применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию

F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию

F(а).

4) Находим разность (число)

F(b) – F(a).

Определённый интеграл существует не всегда.

ПРИМЕР:

Интеграла

не существует, поскольку отрезок интегрирования

[–5; –2]

не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).

ПРИМЕР:

Интеграла

не существует, поскольку на отрезке интегрирования [–2; 3] тангенс терпит бесконечные разрывы в точках

х = –^π/₂, х = ^π/₂.